Volume d'une demi sphère : formule et calcul

Le volume d’une demi sphère se calcule avec V = 2/3 × π × r³. Le r est le rayon, c’est-à-dire la distance du centre au bord. Pour un rayon de 50 cm, le volume est de 0,262 m³, soit 262 litres.

L’essentiel en bref

• Formule : V = 2/3 × π × r³, avec r le rayon en mètres.
• La demi-sphère fait exactement la moitié de la sphère entière.
• Le rayon est le demi-diamètre. Un diamètre de 60 cm donne un rayon de 30 cm.
• 1 m³ fait 1 000 litres. Une demi-sphère de 50 cm de rayon contient 262 litres.

Le calculateur ci-dessus prend le rayon en centimètres. Il affiche le volume en m³, le volume en litres, la surface courbe et la surface totale avec le disque d’ouverture. Il suffit de saisir le rayon mesuré.

Volume d’une demi sphère : la formule pas à pas

Une demi-sphère est une sphère coupée en deux par un plan qui passe par son centre. Elle a donc une face plate, appelée disque, et une face courbe. Son volume est la moitié du volume de la sphère complète.

La sphère complète se calcule avec 4/3 × π × r³. Prendre la moitié donne 2/3 × π × r³. Le facteur 2/3 × π vaut environ 2,0944.

Pour calculer à la main, suivez ces étapes :

1. Mesurez le rayon, ou mesurez le diamètre et divisez-le par 2.
2. Convertissez le rayon en mètres. 50 cm font 0,5 m.
3. Calculez r × r × r. Pour 0,5 m, cela fait 0,125 m³.
4. Multipliez par 2/3 × π, soit 2,0944. Vous obtenez 0,2618 m³.
5. Arrondissez à 0,262 m³. Multiplié par 1 000, cela fait 262 litres.

Tableau des volumes de demi-sphères

Rayon	Volume	Litres	Surface courbe
25 cm	0,033 m³	33 l	0,393 m²
30 cm	0,0565 m³	56,5 l	0,565 m²
50 cm	0,262 m³	262 l	1,571 m²
75 cm	0,884 m³	884 l	3,534 m²
1 m	2,094 m³	2 094 l	6,283 m²

Le volume grandit plus vite que le rayon. Quand le rayon passe de 25 cm à 50 cm, le volume passe de 33 à 262 litres, soit presque huit fois plus. Le rayon est élevé au cube, comme pour la sphère.

Exemples de calcul

Cuvette en demi-sphère de 30 cm de rayon. Le calcul : 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027 m³. Puis 2,0944 × 0,027 = 0,0565 m³. La cuvette contient environ 56,5 litres.

Bassin en demi-sphère de 1 m de rayon. Le calcul : 1 × 1 × 1 = 1 m³. Puis 2,0944 × 1 = 2,094 m³. Le bassin contient 2 094 litres d’eau. La surface courbe, pour la bâche, est 2 × 3,14159 × 1 = 6,283 m². Prévoyez en plus de la bâche pour la fixer sur le bord.

Coupole en béton de 50 cm de rayon. Le volume plein est de 0,262 m³. Avec une densité de 2,4 tonnes par m³, la coupole pèse 0,262 × 2,4 = 0,63 tonne. Ce calcul ne tient pas compte d’un vide intérieur.

Surface d’une demi-sphère

La surface courbe, c’est-à-dire la partie bombée, se calcule avec 2 × π × r². Pour un rayon de 50 cm, cela fait 2 × 3,14159 × 0,25 = 1,571 m².

La surface totale ajoute le disque plat de l’ouverture, qui vaut π × r². Pour le même rayon, le disque fait 0,785 m². La surface totale est donc 3 × π × r², soit 2,356 m².

Pour une peinture ou une étanchéité, c’est la surface courbe qui compte, sauf si l’intérieur et le bord plat sont aussi traités. Le calculateur affiche les deux valeurs.

Demi-sphère ou calotte ?

Une coupole n’est pas toujours une demi-sphère exacte. Une calotte est une partie de sphère coupée plus haut ou plus bas que le centre. Son volume dépend de la hauteur h de la calotte : V = π × h² × (3r − h) ÷ 3.

Prenons un rayon de 0,5 m et une hauteur de 0,25 m. Le calcul : h² = 0,0625 m², 3r − h = 1,25 m. Donc V = 3,14159 × 0,0625 × 1,25 ÷ 3 = 0,0818 m³. Ce volume fait environ le tiers de la demi-sphère de 0,262 m³.

Si la hauteur vaut exactement le rayon, la formule redonne 2/3 × π × r³. Pour une calotte plus plate, utilisez donc la formule avec h.

Comment calculer le volume d’une demi-sphère avec le diamètre

Beaucoup de coupes et de bols se mesurent d’abord en diamètre, d’un bord à l’autre. Pour comment calculer le volume d’une demi-sphère à partir de cette mesure, il faut une étape de plus : diviser par 2.

Prenons une cuvette de 60 cm de diamètre. Le rayon est 30 cm, soit 0,3 m. Le calcul : 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027 m³. Puis 2,0944 × 0,027 = 0,0565 m³. La cuvette contient donc environ 56,5 litres.

Le volume demi sphere se compare vite avec le volume de la sphère entière. Pour le même rayon, la sphère fait deux fois plus. Un bol en demi-sphère de 30 cm de rayon contient 56,5 litres, et la sphère entière de même rayon en contiendrait 113 litres.

Demi-sphère dans la vie courante

Une demi-sphère apparaît dans de nombreux objets. Une cuve de brasserie, une cloche de jardin, un dôme d’observation ou une coupelle de verre ont souvent cette forme. Pour un réservoir en acier ou en plastique, le volume intérieur compte, et non le volume extérieur. Retirez l’épaisseur de la paroi de chaque côté avant de calculer.

Une cloche de jardin en verre de 25 cm de rayon contient 33 litres en volume plein. Une fois la paroi retirée, la vraie capacité est un peu plus petite. Pour un bassin enterré, la forme réelle est souvent une coupe plate sur le dessus. Dans ce cas, la calotte donne un résultat plus juste que la demi-sphère.

Le prix d’une cuve ou d’un dôme dépend du matériau, de la taille et du fabricant. Ces prix sont indicatifs et varient selon la région. Le volume reste la donnée de base pour comparer deux offres.

Erreurs fréquentes

• Diamètre pris pour le rayon. Si vous prenez 60 cm au lieu de 30 cm, le volume est huit fois trop grand.
• Facteur 4/3 oublié. La demi-sphère utilise 2/3, pas 4/3. Le 4/3 est pour la sphère entière.
• Unité non convertie. 50 cm font 0,5 m. Si vous gardez 50 dans la formule, le résultat est faux.
• Calotte confondue avec une demi-sphère. Une coupole plus plate contient moins que 2/3 × π × r³.

Où trouver les formules voisines

Une demi-sphère se compare facilement à d’autres formes. Le volume de la sphère donne la sphère entière. Le volume du cylindre et le volume du cône servent pour les réservoirs à fond plat ou pointu. Un tronc de cône couvre les formes à section qui se rétrécit.

Pour un volume dans une forme plus générale, le calcul de volume rassemble les formules courantes. Découpez la forme en parties simples, calculez chaque volume, puis additionnez-les.

Pour des volumes en litres, gardez en tête qu’un mètre cube fait 1 000 litres. Une demi-sphère de 50 cm de rayon contient donc 262 litres, et non 0,262 litre. C’est l’erreur de conversion la plus fréquente sur les réservoirs.