Kragarm berechnen: Durchbiegung und Moment im Rechner

Einen Kragarm berechnen Sie für gleichmäßige Last mit w = q × L⁴ ÷ (8 × E × I). Ein Kragarm ist ein Balken, der nur an einem Ende eingespannt ist. Ein Holzbalken C24 mit 80 × 200 mm, 1,5 m Auskragung und 2,5 kN/m biegt sich am freien Ende 2,7 mm durch.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Durchbiegung am freien Ende wächst mit der vierten Potenz der Auskragung.
• Der Rechner nutzt als Grenze L/150. Bei 1.500 mm Auskragung sind das 10 mm.
• Das Einspannmoment ist M = q × L² ÷ 2. Bei 2,5 kN/m und 1,5 m sind es 2,81 kNm.
• Die Querkraft an der Einspannung ist V = q × L, also 3,75 kN.
• Stahl ist rund 19-mal steifer als Holz C24 (210.000 zu 11.000 N/mm²).

Kragarm berechnen mit dem Rechner

Der Rechner oben nimmt Last, Auskragung, Querschnitt und Werkstoff. Er zeigt die Durchbiegung, die Grenze, das Einspannmoment und die Querkraft.

So gehen Sie vor:

1. Tragen Sie die gleichmäßige Last in kN/m ein, zum Beispiel Schnee oder Auflast je Meter.
2. Messen Sie nur den frei auskragenden Teil als Auskragung.
3. Geben Sie Breite und Höhe des Querschnitts in mm ein.
4. Wählen Sie den Werkstoff, also den E-Modul.
5. Vergleichen Sie die Durchbiegung mit der Grenze.

Die Formeln

• Durchbiegung: w = q × L⁴ ÷ (8 × E × I)
• Einspannmoment: M = q × L² ÷ 2
• Querkraft an der Einspannung: V = q × L
• Flächenträgheitsmoment (Rechteck): I = Breite × Höhe³ ÷ 12

Dabei ist q die Last in kN/m, was in N/mm dasselbe ist. L ist die Auskragung in mm, E der Elastizitätsmodul in N/mm² und I das Flächenträgheitsmoment in mm⁴. Der Flächenträgheitsmoment Rechner rechnet I für Rechteck und Kreis.

Werkstoffe

Werkstoff	E-Modul
Vollholz C16	8.000 N/mm²
Vollholz C24	11.000 N/mm²
Brettschichtholz GL24h	11.500 N/mm²
Baustahl	210.000 N/mm²

Beim Kragarm Holz berechnen Sie mit dem E-Modul der Sortierklasse. Für Vollholz C24 nehmen Sie 11.000 N/mm². Eine schwächere Sortierklasse wie C16 senkt den Wert und vergrößert die Durchbiegung.

Rechenbeispiele

Vordach-Träger: 80 × 200 mm, 1,5 m Auskragung, 2,5 kN/m, C24

• I = 80 × 200³ ÷ 12 = 53.333.333 mm⁴ (5.333 cm⁴)
• Durchbiegung: 2,7 mm
• Grenze L/150: 1.500 ÷ 150 = 10 mm
• Ausnutzung: 2,7 ÷ 10 = 27 %
• Moment: 2,5 × 1,5² ÷ 2 = 2,81 kNm
• Querkraft: 2,5 × 1,5 = 3,75 kN

Gleiche Last, flacherer Balken: 80 × 160 mm

• I = 2.731 cm⁴
• Durchbiegung: 5,3 mm
• Ausnutzung der Grenze: 53 %

Längere Auskragung: 100 × 200 mm, 2 m, 2,5 kN/m, C24

• I = 6.667 cm⁴
• Durchbiegung: 6,8 mm
• Grenze: 2.000 ÷ 150 = 13,3 mm
• Moment: 2,5 × 2² ÷ 2 = 5 kNm

Noch länger: 100 × 200 mm, 3 m, 2,5 kN/m, C24

• Durchbiegung: 34,5 mm bei einer Grenze von 20 mm
• Die Grenze ist überschritten. Hier hilft nur ein höherer Querschnitt oder eine kürzere Auskragung.

Kragarm Auflagerkräfte berechnen

Am Auflager der Einspannung wirken zwei Größen. Die Querkraft V = q × L ist die senkrechte Kraft, die die Einspannung aufnehmen muss. Das Einspannmoment M = q × L² ÷ 2 ist das größte Moment im ganzen Balken.

Beim Vordach-Träger sind das 3,75 kN und 2,81 kNm. Am freien Ende sind beide Werte null. Die Einspannung muss deshalb genau dort liegen, wo das Moment am größten ist.

Einfeldträger mit Kragarm berechnen

Ein Einfeldträger liegt auf zwei Stützen. Ragt ein Ende darüber hinaus, entsteht ein Einfeldträger mit Kragarm. Den Kragarm rechnen Sie wie oben. Den Feldteil zwischen den Stützen berechnen Sie mit der Trägerberechnung mit Biegemoment und Auflagerkraft.

Durchbiegung Kragarm berechnen: Was zählt am meisten

• Länge: Sie geht mit der vierten Potenz ein. Aus 2 m werden bei 3 m rund 5-mal so viel Durchbiegung.
• Höhe: Sie geht mit der dritten Potenz ein. Ein 20 % höherer Balken biegt sich über 40 % weniger durch.
• Werkstoff: Stahl ist rund 19-mal steifer als Holz C24.
• Last: Doppelte Last bedeutet doppelte Durchbiegung.

Die Spannung im Holz prüfen Sie getrennt. Dafür nutzen Sie den Biegespannung Rechner. Die Durchbiegung allein sagt nichts über die Festigkeit.

Typische Fehler

• Spannweite statt Auskragung: Messen Sie nur den frei auskragenden Teil.
• Einspannung unterschätzt: Ein Kragarm funktioniert nur, wenn das Ende fest im Mauerwerk oder in der Konstruktion verankert ist. Das Moment muss dort abgeleitet werden.
• Einzellast vergessen: Eine Person am Rand erzeugt eine größere Durchbiegung als die gleichmäßige Last im Rechner.
• Gleiche Grenze wie beim Balken: Für Kragarme legt der Planer oft einen anderen Grenzwert fest.

Der Rechner liefert einen Überschlag. Balkone, Vordächer und Terrassen mit Kragarm lassen Sie von einem Tragwerksplaner prüfen. Die Einspannung und die Verankerung gehören dabei immer in die Prüfung.