Biegespannung berechnen: Formel und Rechner
Biegespannung berechnen mit σ = M ÷ W: 6 kNm auf einem Balken 100 × 200 mm ergeben 9,0 N/mm². Mit Formel, Tabelle und Rechenbeispielen zum Nachrechnen.
Biegespannung berechnen Sie mit σ = M ÷ W. M ist das Biegemoment in N·mm, W das Widerstandsmoment des Querschnitts in mm³. Das Ergebnis steht in N/mm².
Das Wichtigste in Kürze
- Die Biegespannung steigt mit dem Moment und sinkt mit dem Widerstandsmoment.
- Beim Rechteck gilt W = b × h² ÷ 6. Die Höhe steht also im Quadrat.
- Ein Balken mit 100 × 200 mm bei 6 kNm hat 9,0 N/mm².
- Am stärksten beansprucht sind die äußeren Fasern oben und unten.
- Liegt die Spannung über der zulässigen Spannung, ist der Querschnitt zu schwach.
Biegespannung berechnen online: Der Rechner oben nimmt Moment, Breite, Höhe und die zulässige Spannung. Er zeigt Spannung, Widerstandsmoment, Flächenträgheitsmoment und die Ausnutzung.
Biegespannung berechnen in vier Schritten
- Moment bestimmen. Ein Balken auf zwei Stützen trägt bei gleichmäßiger Last das größte Moment in Feldmitte. Den Weg dorthin zeigt der Abschnitt zum Biegemoment weiter unten.
- Maße in Millimeter einsetzen. Berechnen Sie W = b × h² ÷ 6.
- Einheiten angleichen. 6 kNm sind 6.000.000 N·mm.
- Spannung berechnen und vergleichen. Rechnen Sie σ = M ÷ W und stellen Sie das Ergebnis der zulässigen Spannung gegenüber.
Die Formel für das Widerstandsmoment
Das Widerstandsmoment W beschreibt, wie gut ein Querschnitt Biegung aufnimmt. Für ein Rechteck gilt W = b × h² ÷ 6. Bei b = 100 mm und h = 200 mm ergibt das 100 × 200² ÷ 6 = 666.667 mm³, also 666,7 cm³.
Es gibt eine zweite Schreibweise über das Flächenträgheitsmoment I. Dann gilt σ = M × e ÷ I, wobei e der Abstand der äußersten Faser von der neutralen Achse ist. Beim Rechteck ist e = h ÷ 2 = 100 mm und I = b × h³ ÷ 12 = 66.666.667 mm⁴. Damit ergibt sich σ = 6.000.000 × 100 ÷ 66.666.667 = 9 N/mm². Das Ergebnis ist dasselbe. Den Wert für I finden Sie im Flächenträgheitsmoment-Rechner.
Wie die Balkenhöhe wirkt
Die Höhe steht im Quadrat in der Formel. Verdoppeln Sie die Höhe, sinkt die Biegespannung auf ein Viertel. Halbieren Sie die Höhe, vervierfacht sie sich.
| Querschnitt | Widerstandsmoment W | Spannung bei 6 kNm |
|---|---|---|
| 100 × 100 mm | 166,7 cm³ | 36,0 N/mm² |
| 100 × 150 mm | 375 cm³ | 16,0 N/mm² |
| 100 × 200 mm | 666,7 cm³ | 9,0 N/mm² |
| 100 × 240 mm | 960 cm³ | 6,25 N/mm² |
| 200 × 100 mm (flach gelegt) | 333,3 cm³ | 18,0 N/mm² |
Der Balken mit 100 × 200 mm, hochkant gestellt, trägt doppelt so viel wie derselbe Querschnitt flach gelegt. Die Werte gelten für ein Moment von 6 kNm.
Rechenbeispiele
Deckenbalken: M = 6 kNm, 100 × 200 mm
- W = 100 × 200² ÷ 6 = 666.667 mm³
- σ = 6.000.000 ÷ 666.667 = 9,0 N/mm²
- Bei 14 N/mm² zulässig: Ausnutzung 9,0 ÷ 14 = 64 %
Größerer Balken: M = 12 kNm, 120 × 240 mm
- W = 120 × 240² ÷ 6 = 1.152.000 mm³
- σ = 12.000.000 ÷ 1.152.000 = 10,4 N/mm²
- Bei 14 N/mm² zulässig: Ausnutzung 10,4 ÷ 14 = 74 %
Zulässige Biegespannung und Ausnutzung
Die zulässige Biegespannung berechnen Sie aus dem Bemessungswert des Werkstoffs, nicht aus dem Gefühl. Bei Nadelholz C24 liegt er nach Eurocode 5 grob zwischen 11 und 17 N/mm². Der Wert hängt von der Lastdauer und der Holzfeuchte ab. Für Holzbalken rechnet der Tragfähigkeit-Rechner für Holzbalken mit Streckenlasten weiter.
Bei Baustahl S235 liegt die Streckgrenze bei 235 N/mm², für Bleche bis 16 mm Dicke. Den Bemessungswert dürfen Sie nur mit Lasten vergleichen, die bereits mit Sicherheitsbeiwerten erhöht sind.
Die Ausnutzung ist das Verhältnis aus vorhandener zu zulässiger Spannung. Bei 64 % bleibt Reserve. Über 100 % ist der Querschnitt zu schwach.
Wie Sie das Biegemoment finden
Für einen Balken auf zwei Stützen mit gleichmäßiger Last q gilt M = q × L² ÷ 8. Bei q = 4 kN/m und L = 3 m ist M = 4 × 3² ÷ 8 = 4,5 kNm. Bei einer Einzellast F in Feldmitte gilt M = F × L ÷ 4. Bei 10 kN und 4 m Spannweite ergibt das 10 kNm.
Die Trägerberechnung liefert Auflagerkräfte und Momente für solche Fälle. Die maximale Biegespannung berechnen Sie erst danach mit dem fertigen Moment.
Typische Fehler
- Einheiten mischen. 1 kNm sind 1.000.000 N·mm. Rechnen Sie das Moment vor der Division um.
- Höhe und Breite vertauschen. Die Höhe gehört in das Quadrat, also die Seite, die in Lastrichtung misst.
- Nur die Biegung prüfen. Auch Schub und Durchbiegung müssen passen. Bei großen Spannweiten entscheidet oft die Durchbiegung.
- Mehrere Spannungen gleichzeitig. Wirken Biegung und Schub zusammen, reicht der Einzelwert nicht. Dann hilft die Von-Mises-Spannung weiter.
- Die zulässige Spannung schätzen. Nehmen Sie sie aus der Tragwerksplanung oder dem Datenblatt.
Für tragende Bauteile lassen Sie die Bemessung von einer Statikerin oder einem Statiker prüfen. Der Rechner ist eine Überschlagsrechnung.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Biegespannung in einem Balken?
Teilen Sie das Biegemoment M durch das Widerstandsmoment W: σ = M ÷ W. Bei M = 6 kNm und W = 666.667 mm³ ergibt das 6.000.000 N·mm ÷ 666.667 mm³ = 9 N/mm². Das ist die Spannung in der äußersten Faser.
Was ist das Widerstandsmoment W?
Das Widerstandsmoment W sagt, wie viel Biegung ein Querschnitt aufnehmen kann. Beim Rechteck gilt W = b × h² ÷ 6. Bei 100 × 200 mm sind das 666,7 cm³, und die Höhe geht quadratisch ein.
Wie wirkt sich die Balkenhöhe auf die Biegespannung aus?
Verdoppeln Sie die Höhe, sinkt die Biegespannung auf ein Viertel. Aus 9 N/mm² bei 200 mm Höhe werden 2,25 N/mm² bei 400 mm. Darum werden Balken hochkant eingebaut.
Wo liegt die größte Biegespannung im Querschnitt?
Am äußersten Rand des Querschnitts, oben als Druck und unten als Zug, wenn der Balken sich nach unten durchbiegt. In der Mitte, an der neutralen Faser, ist die Biegespannung null.
Welche zulässige Biegespannung gilt für Holz und Stahl?
Nadelholz C24 hat nach Eurocode 5 einen Bemessungswert der Biegefestigkeit von grob 11 bis 17 N/mm², je nach Lastdauer und Holzfeuchte. Baustahl S235 hat bei Blechen bis 16 mm eine Streckgrenze von 235 N/mm². Den passenden Wert holen Sie aus der Tragwerksplanung.
Alle Ergebnisse sind Schätzungen. Mengen und Preise vor dem Kauf mit dem Händler oder Fachbetrieb abgleichen.