Durchbiegung berechnen – Balken Rechner mit Grenzwert

Die Durchbiegung berechnen Sie für einen Balken auf zwei Stützen mit w = 5 · q · L⁴ ÷ (384 · E · I). Ein Holzbalken C24 mit 100 mm Breite und 200 mm Höhe biegt sich bei 4 m Spannweite und 2,5 kN/m Last in Feldmitte um 11,4 mm durch. Die Grenze L/300 liegt bei 13,3 mm, der Balken nutzt sie zu 85 % aus.

Der Rechner oben nimmt Last, Spannweite, Querschnitt, Werkstoff und Grenzwert auf. Er zeigt sofort, ob die Durchbiegung zulässig bleibt.

Wenn Sie die Durchbiegung berechnen online möchten, geben Sie nur diese fünf Werte ein.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Formel gilt für einen Balken auf zwei Stützen mit gleichmäßiger Last.
• Die Spannweite geht mit der vierten Potenz ein. Doppelte Länge bedeutet die 16-fache Durchbiegung.
• Die Balkenhöhe geht mit der dritten Potenz ein. 240 mm statt 200 mm Höhe senken die Durchbiegung um etwa 42 %.
• Eine übliche Grenze ist L/300. Bei 4 m Spannweite sind das 13,3 mm.
• Der Rechner prüft nur die Steifigkeit, nicht die Tragfähigkeit.

Durchbiegung berechnen in fünf Schritten

1. Last q: Tragen Sie die gleichmäßige Last in kN/m ein. Das Eigengewicht von Balken und Belag gehört dazu. Ein kN/m entspricht einem N/mm, die Zahl bleibt also gleich.

So groß ist das Eigengewicht eines Holzbalkens: Holz C24 wiegt im Mittel rund 420 kg je m³, das sind etwa 4,2 kN/m³. Ein Balken mit 0,1 m × 0,2 m Querschnitt wiegt also 0,1 × 0,2 × 4,2 = 0,084 kN je Meter. Gegenüber 2,5 kN/m ist das wenig, bei dicken Bohlen oder Beton zählt es mehr. 2. Spannweite L: Rechnen Sie Meter in Millimeter um. Aus 4 m werden 4.000 mm. 3. Flächenträgheitsmoment I: Für ein Rechteck gilt I = Breite × Höhe³ ÷ 12. Bei 100 × 200 mm ergibt das 100 × 200³ ÷ 12 = 66,67 Mio. mm⁴, also 6.667 cm⁴. 4. Elastizitätsmodul E: Wählen Sie den Wert aus der Tabelle weiter unten. Für Vollholz C24 nehmen Sie 11.000 N/mm². 5. Durchbiegung w: Setzen Sie die Werte in die Formel ein und rechnen Sie in dieser Reihenfolge. 6. Vergleich mit der Grenze: Teilen Sie die Spannweite durch den Grenzteiler. Das Ergebnis aus Schritt 5 steht daneben.

Die Rechnung im Detail

Der Zähler der Formel ist 5 × q × L⁴. Mit 2,5 N/mm und 4.000 mm rechnen Sie so:

• 5 × 2,5 = 12,5
• 4.000⁴ = 2,56 × 10¹⁴
• 12,5 × 2,56 × 10¹⁴ = 3,2 × 10¹⁵

Der Nenner ist 384 × E × I. Mit 11.000 N/mm² und 66,67 Mio. mm⁴ rechnen Sie so:

• 384 × 11.000 = 4.224.000
• 4.224.000 × 66,67 Mio. = 2,816 × 10¹⁴

Das Ergebnis lautet 3,2 × 10¹⁵ ÷ 2,816 × 10¹⁴ = 11,36 mm, gerundet 11,4 mm. Die Grenze ist 4.000 ÷ 300 = 13,33 mm. Die Ausnutzung beträgt 11,36 ÷ 13,33 = 0,85, also 85 %.

Durchbiegung Holzbalken berechnen: Höhe, Länge und Last

Drei Größen bestimmen das Ergebnis am stärksten. Jede wirkt anders.

Spannweite. Ein Balken mit doppelter Länge, also 8 m statt 4 m, biegt sich 2⁴ = 16-mal so stark. Aus 11,36 mm werden 11,36 × 16 = 181,8 mm, rund 182 mm. Die Grenze L/300 liegt bei 8.000 ÷ 300 = 26,7 mm. Dieser Balken scheitert deutlich.

Balkenhöhe. Ein Balken mit 100 × 240 mm hat I = 100 × 240³ ÷ 12 = 115,2 Mio. mm⁴, also 11.520 cm⁴. Die Durchbiegung sinkt auf 6,58 mm. Das sind etwa 42 % weniger als bei 200 mm Höhe, bei gleicher Last und Länge.

Last. Verdoppeln Sie die Last von 2,5 auf 5 kN/m, verdoppelt sich die Durchbiegung auf 22,7 mm. Die Last geht nur einfach in die Formel ein.

Der Einfluss der Höhe ist groß, weil I mit der dritten Potenz wächst. Von 200 auf 240 mm stieg I um das 1,73-Fache, ohne dass sich Last oder Spannweite änderten.

Rechenbeispiele

Standardfall: 2,5 kN/m, 4 m, 100 × 200 mm, C24, Grenze L/300

• I = 100 × 200³ ÷ 12 = 66,67 Mio. mm⁴, das sind 6.667 cm⁴
• w = 11,4 mm
• Grenze: 4.000 ÷ 300 ≈ 13,3 mm
• Ausnutzung: 85 %, die Grenze ist eingehalten

Höherer Balken: 100 × 240 mm, sonst gleich

• I = 100 × 240³ ÷ 12 = 115,2 Mio. mm⁴, das sind 11.520 cm⁴
• w ≈ 6,6 mm bei gleicher Grenze von 13,3 mm
• Ausnutzung etwa 49 %

Kürzere Spannweite: 100 × 160 mm, 3 m, 2,5 kN/m

• I = 100 × 160³ ÷ 12 ≈ 34,1 Mio. mm⁴, das sind 3.413 cm⁴
• w ≈ 7,0 mm
• Grenze: 3.000 ÷ 300 = 10 mm
• Ausnutzung 70 %

Doppelte Spannweite: 100 × 200 mm, 8 m, 2,5 kN/m

• w ≈ 182 mm
• Grenze: 8.000 ÷ 300 = 26,7 mm
• Ausnutzung rund 680 %, der Balken ist viel zu weich

Typische E-Moduln als Richtwerte

Werkstoff	E in N/mm²
Vollholz C16	8.000
Vollholz C24	11.000
Brettschichtholz GL24h	11.500
Baustahl	210.000

Die Werte sind Richtwerte für die Berechnung der Durchbiegung. Welcher Wert für Ihr Projekt gilt, hängt von Sortierklasse, Hersteller und Norm ab. Baustahl ist rund 19-mal steifer als Vollholz C24, deshalb biegt sich ein Stahlträger bei gleichen Maßen deutlich weniger durch.

Grenzwerte als Bruchteil der Spannweite

Grenzwert	Bei 3 m	Bei 4 m	Bei 5 m
L / 200	15 mm	20 mm	25 mm
L / 250	12 mm	16 mm	20 mm
L / 300	10 mm	13,3 mm	16,7 mm
L / 360	8,3 mm	11,1 mm	13,9 mm

Die zulässige Durchbiegung berechnen Sie als Spannweite geteilt durch den Grenzteiler. Bei L/300 und 4 m Spannweite sind das 4.000 ÷ 300 = 13,3 mm. Je größer die Zahl hinter dem L, desto strenger ist die Grenze.

Die Normenreihe DIN EN 1995 (Eurocode 5) regelt den Holzbau, DIN EN 1993 (Eurocode 3) den Stahlbau. Welche Grenze für Ihr Bauteil gilt, entscheidet der Planer.

Häufige Fehler

• Einheiten mischen. Wer kN/m und mm mischt, liegt um den Faktor 1.000 daneben. Der Rechner rechnet für Sie, bei der Handrechnung brauchen Sie klare Einheiten.
• Eigengewicht vergessen. Tragen Sie in der Last auch das Gewicht von Balken und Belag ein.
• Breite und Höhe vertauscht. Die Höhe steckt in der dritten Potenz. Vertauschen Sie die Werte, ändert sich I stark und das Ergebnis ist falsch.
• Rechteck angenommen, Profil gemeint. Der Rechner nimmt einen vollen Rechteckquerschnitt. Für Stahlprofile entnehmen Sie I den Profiltabellen.
• Kein Festigkeitsnachweis. Ein Balken kann steif genug und trotzdem zu schwach sein. Prüfen Sie auch die Tragfähigkeit.
• Auflager vergessen. Auch Pfosten und Fundamente müssen die Last aufnehmen.

Wann Sie genauer rechnen lassen

Die Formel gilt für den einfachen Fall mit zwei Auflagern und gleichmäßiger Last. Hängt ein Bauteil frei aus, etwa ein Balkon, ändert sich die Formel. Dann hilft der Kragarm berechnen Rechner weiter.

Biegemoment und Auflagerkräfte finden Sie in der Trägerberechnung. Wie stark das Holz im Inneren beansprucht wird, zeigt die Biegespannung berechnen Seite. Den Wert I für runde oder andere Querschnitte liefert das Flächenträgheitsmoment berechnen.

Suchen Sie die größte Spannweite für Ihren Balken, nutzen Sie den Holzbalken Spannweite Rechner. Er dreht die Rechnung um und fragt nach der Länge, die gerade noch passt. Prüfen Sie nach jeder Änderung die Ausnutzung neu, bis die Grenze sicher eingehalten wird.