Trägerberechnung – Biegemoment und Auflagerkraft

Eine Trägerberechnung für einen Einfeldträger braucht drei Werte: das Biegemoment, die Auflagerkraft und das erforderliche Widerstandsmoment. Bei 4 m Spannweite und 5 kN/m Last ergeben sich 10 kNm Moment und 10 kN Auflagerkraft.

Der Rechner oben nimmt Spannweite, Last und Werkstoff und gibt alle drei Werte aus. Eine Trägerberechnung online ersetzt keinen Nachweis, aber sie zeigt schnell, ob ein Querschnitt grob passt.

Das Wichtigste in Kürze

• Biegemoment: M = q × L² ÷ 8, das größte Moment liegt in Feldmitte.
• Auflagerkraft: A = q × L ÷ 2, je Auflager.
• Erforderliches Widerstandsmoment: W = M ÷ fd, mit fd = 14,8 N/mm² für Holz C24.
• Bei 5 kN/m und 4 m Spannweite ergeben sich M = 10 kNm, A = 10 kN und W = 676 cm³.
• Die Durchbiegung prüfen Sie getrennt. Ein Träger kann stark genug sein und trotzdem zu weich.

Trägerberechnung in drei Schritten

Bei einem Einfeldträger auf zwei Stützen mit gleichmäßiger Last gelten drei Formeln. Das Biegemoment ist M = q × L² ÷ 8. Die Auflagerkraft ist A = q × L ÷ 2. Das erforderliche Widerstandsmoment ist W = M ÷ fd.

Ein Träger mit 4 m Spannweite und 5 kN/m Last hat ein Moment von 5 × 4² ÷ 8 = 10 kNm. Jedes Auflager trägt 10 kN. Aus Vollholz C24 braucht er ein Widerstandsmoment von mindestens 676 cm³.

Was die Werte bedeuten

• q ist die Last je Meter in kN/m. Sie setzt sich aus Eigengewicht, Aufbau und Nutzlast zusammen.
• L ist die Spannweite in Metern zwischen den Auflagermitten.
• M ist das größte Biegemoment in kNm. Es liegt in Feldmitte.
• A ist die Kraft, die jedes Auflager aufnehmen muss.
• fd ist der Bemessungswert der Biegespannung des Werkstoffs in N/mm².

Der Rechner nutzt für Holz C24 oder GL24h einen Wert von 14,8 N/mm² und für Baustahl S235 einen Wert von 235 N/mm². Das sind vereinfachte Rechenwerte für ein Überschlagsbeispiel. Sie hängen von Lasteinwirkungsdauer und Nutzungsklasse ab.

Trägerberechnung Formel: Schritt für Schritt

Die Trägerberechnung Formel gilt nur für den Fall mit gleichmäßiger Last und zwei Auflagern. Bei Einzellasten oder Kragarmen ändern sich die Formeln. Der Kragarm berechnen Rechner rechnet den Fall mit einem Auflager.

1. Last q in kN/m bestimmen. Eigenlast und Nutzlast addieren.
2. Spannweite L in Metern messen, von Auflagermitte zu Auflagermitte.
3. Moment berechnen: q × L² ÷ 8.
4. Auflagerkraft berechnen: q × L ÷ 2.
5. Werkstoff wählen und fd einsetzen.
6. Widerstandsmoment berechnen: M in Nmm ÷ fd. Das Ergebnis ist in mm³, durch 1.000 erhalten Sie cm³.

Die Einheiten sind der häufigste Stolperstein. kNm mal 1.000 ergibt Nmm, und mm³ durch 1.000 ergibt cm³.

Vom Widerstandsmoment zum Querschnitt

Für einen Rechteckquerschnitt gilt W = Breite × Höhe² ÷ 6. Ein Balken 100 × 200 mm hat 100 × 200² ÷ 6 = 666.667 mm³, also 667 cm³. Das reicht für 676 cm³ knapp nicht. Ein Balken 100 × 220 mm hat 807 cm³ und reicht.

Querschnitt (Holz)	Widerstandsmoment W
80 × 200 mm	533 cm³
100 × 200 mm	667 cm³
100 × 220 mm	807 cm³
120 × 240 mm	1.152 cm³

Die Höhe wirkt im Quadrat. Ein Balken, der 20 % höher ist, hat rund 44 % mehr Widerstandsmoment. Deshalb ist die Balkenhöhe der wichtigste Hebel beim Querschnitt.

Trägerberechnung Beispiel mit allen Zahlen

Trägerberechnung Beispiel 1: Holzträger im Carport, 4 m, 5 kN/m, Holz C24

• Moment: 5 × 16 ÷ 8 = 10 kNm
• Auflagerkraft: 5 × 4 ÷ 2 = 10 kN
• Erforderliches W: 10 × 1.000 ÷ 14,8 = 676 cm³

Trägerberechnung Beispiel 2: Stahlträger über einer Öffnung, 3 m, 8 kN/m, S235

• Moment: 8 × 9 ÷ 8 = 9 kNm
• Auflagerkraft: 8 × 3 ÷ 2 = 12 kN
• Erforderliches W: 9 × 1.000 ÷ 235 = 38 cm³

Für Stahlprofile wie IPE oder HEA hilft der Stahlträger Gewicht Rechner bei Gewicht und Profilwahl.

Trägerberechnung Beispiel 3: Holzträger mit großer Spannweite, 6 m, 4 kN/m, Holz C24

• Moment: 4 × 36 ÷ 8 = 18 kNm
• Auflagerkraft: 4 × 6 ÷ 2 = 12 kN
• Erforderliches W: 18 × 1.000 ÷ 14,8 = 1.216 cm³

Die Spannweite geht quadratisch ein. Von 4 m auf 6 m wächst die Spannweite um die Hälfte, das Moment steigt bei gleicher Last aber auf das 2,25-fache. Die Grenzen für Holzbalken sortiert der Holzbalken Spannweite Rechner.

Trägerberechnung Durchbiegung prüfen

Ein Träger kann die Festigkeit erfüllen und trotzdem zu stark durchhängen. Dafür gilt die Formel f = 5 × q × L⁴ ÷ (384 × E × I). Dabei ist E der Elastizitätsmodul und I das Flächenmoment zweiter Ordnung.

Ein Beispiel mit dem Holzbalken 8 × 20 cm aus dem Tabellenbeispiel: I = 80 × 200³ ÷ 12 = 53.333.333 mm⁴. Mit E = 11.000 N/mm² und q = 5 N/mm bei L = 4.000 mm ergibt sich f = 5 × 5 × 4.000⁴ ÷ (384 × 11.000 × 53.333.333) = 28,4 mm. Viele Planer begrenzen die Durchbiegung auf L/300, hier also 13,3 mm. Der Balken wäre zu weich.

Die Durchbiegung rechnen Sie mit dem Durchbiegung berechnen Rechner nach. Die Tragfähigkeit einzelner Holzbalken prüfen Sie zusätzlich mit dem Tragfähigkeit Holzbalken Rechner.

Typische Fehler

• Last in der falschen Einheit: kN/m ist nicht kg/m. Teilen Sie kg durch 102, um kN zu erhalten.
• Lichte Weite statt Spannweite: Rechnen Sie mit dem Abstand der Auflagermitten.
• Eigenlast vergessen: Dielen, Dämmung und Eigengewicht des Trägers gehören in q.
• Durchbiegung vergessen: Ein Träger kann stark genug sein und trotzdem zu weich. Prüfen Sie die Durchbiegung getrennt.
• Auflager unterschätzt: Wand oder Stütze müssen die Auflagerkraft aufnehmen können.

Der Rechner ist ein Überschlag und kein statischer Nachweis. Für tragende Bauteile lassen Sie die Berechnung von einem Tragwerksplaner prüfen.