Flächenträgheitsmoment berechnen: Formeln für Rechteck und Kreis

Flächenträgheitsmoment in einem Schritt

Das Flächenträgheitsmoment beschreibt, wie steif ein Querschnitt gegen Biegung ist. Für ein Rechteck gilt I = b × h³ ÷ 12. Bei b = 100 mm und h = 200 mm ist I = 100 × 200³ ÷ 12 = 66.666.667 mm⁴. Das sind 6.667 cm⁴.

Das zugehörige Widerstandsmoment ist W = b × h² ÷ 6 = 100 × 200² ÷ 6 = 666.667 mm³, also 667 cm³. Mit W berechnen Sie die Biegespannung. Der Rechner oben nimmt die Querschnittsform und die Maße in mm und gibt I und W in cm⁴ und cm³ aus.

Das Wichtigste in Kürze

• I wächst mit der Höhe in der dritten Potenz: doppelte Höhe bedeutet achtfache Steifigkeit.
• Rechteck: I = b × h³ ÷ 12, W = b × h² ÷ 6.
• Vollkreis mit Durchmesser d: I = π × d⁴ ÷ 64, W = π × d³ ÷ 32.
• 1 cm⁴ sind 10.000 mm⁴, 1 cm³ sind 1.000 mm³.
• Die Durchbiegung eines Balkens ist umgekehrt proportional zu I.

Formeln im Überblick

Querschnitt	Flächenträgheitsmoment I	Widerstandsmoment W
Rechteck b × h	b × h³ ÷ 12	b × h² ÷ 6
Vollkreis, Durchmesser d	π × d⁴ ÷ 64	π × d³ ÷ 32
Hohlkreis, außen D, innen d	π × (D⁴ − d⁴) ÷ 64	π × (D⁴ − d⁴) ÷ (32 × D)

Die Höhe h misst in Richtung der Last. Ein Balken, der hochkant steht, hat ein viel größeres I als derselbe Balken flach liegend. Die Breite b geht nur einfach ein, die Höhe h dagegen dreifach. Beim Flächenträgheitsmoment Rechteck zählt also die Höhe am meisten.

Die Rechnung Schritt für Schritt

1. Querschnitt festlegen und die Biegeachse bestimmen. Die Achse, um die gebogen wird, ist entscheidend.
2. Breite b und Höhe h in derselben Einheit einsetzen, am besten in mm.
3. Die Formel für I anwenden und das Ergebnis durch 10.000 teilen, damit Sie cm⁴ erhalten.
4. Für das Widerstandsmoment W die zweite Formel nehmen und durch 1.000 teilen, damit Sie cm³ erhalten.

Ein Beispiel mit allen Zahlen: b = 100 mm, h = 200 mm. Schritt 2 liefert 100 × 200³ = 800.000.000. Geteilt durch 12 ergibt das 66.666.667 mm⁴. In cm⁴ sind es 6.666,7, also gerundet 6.667 cm⁴.

Hochkant oder flach

Ein Balken 60 mm × 120 mm kann auf zwei Arten liegen. Hochkant ist die Höhe 120 mm:

• I = 60 × 120³ ÷ 12 = 8.640.000 mm⁴ = 864 cm⁴

Flach liegend ist die Höhe 60 mm:

• I = 120 × 60³ ÷ 12 = 2.160.000 mm⁴ = 216 cm⁴

Hochkant ist der Balken viermal so steif. Der Querschnitt ist derselbe, nur die Lage ändert sich. Deshalb stellt man Deckenbalken fast immer hochkant.

Wie stark die Höhe wirkt

Die Tabelle zeigt ein Rechteck mit 100 mm Breite und wachsender Höhe.

Höhe h	I in cm⁴	W in cm³
100 mm	833,3	166,7
150 mm	2.812,5	375,0
200 mm	6.666,7	666,7
250 mm	13.020,8	1.041,7

Von 150 mm auf 250 mm wächst die Höhe um 67 %. Das I steigt dabei um rund 363 %, also auf das 4,6fache. Die Höhe in der dritten Potenz erklärt diesen Sprung.

Rechenbeispiele

Rechteck 100 mm × 200 mm

• I = 100 × 200³ ÷ 12 = 6.667 cm⁴
• W = 100 × 200² ÷ 6 = 667 cm³

Rechteck 60 mm × 120 mm, hochkant

• I = 60 × 120³ ÷ 12 = 864 cm⁴
• W = 60 × 120² ÷ 6 = 144.000 mm³ = 144 cm³

Vollkreis mit 50 mm Durchmesser

• I = π × 50⁴ ÷ 64 = 306.796 mm⁴ = 30,68 cm⁴
• W = π × 50³ ÷ 32 = 12.272 mm³ = 12,27 cm³

Rohr, außen 60 mm, innen 50 mm

• I = π × (60⁴ − 50⁴) ÷ 64 = π × 6.710.000 ÷ 64 = 329.376 mm⁴ = 32,94 cm⁴
• W = I ÷ (D ÷ 2) = 329.376 ÷ 30 = 10.979 mm³ = 10,98 cm³

Hohle Rechteckquerschnitte

Ein Rechteckrohr rechnen Sie als großes Rechteck minus das Loch in der Mitte. Die Formel lautet I = (B × H³ − b × h³) ÷ 12, wobei B und H die äußeren Maße sind und b und h die inneren.

Beispiel: Außen 100 mm × 200 mm, innen 80 mm × 180 mm.

• I = (100 × 200³ − 80 × 180³) ÷ 12
• I = (800.000.000 − 466.560.000) ÷ 12 = 27.786.667 mm⁴, also 2.778,7 cm⁴
• W = I ÷ (H ÷ 2) = 27.786.667 ÷ 100 = 277.867 mm³, also 277,9 cm³

Der Hohlquerschnitt hat 2.778,7 cm⁴ und ist damit weniger steif als der Vollquerschnitt mit 6.667 cm⁴. Das Loch nimmt Material aus der Mitte weg, das wenig zur Steifigkeit beiträgt. Die Fläche sinkt auf 5.600 mm² von 20.000 mm². Das sind 28 % des Materials mit 42 % der Steifigkeit.

Satz von Steiner

Liegt der Querschnitt nicht im Schwerpunkt, sondern verschoben, gilt der Satz von Steiner: I = I_s + A × a². I_s ist das Flächenträgheitsmoment durch den eigenen Schwerpunkt, A die Fläche und a der Abstand der beiden Achsen.

Beispiel: Eine Stahllasche 100 mm × 20 mm liegt mit ihrem Schwerpunkt 100 mm von der gemeinsamen Achse entfernt.

• I_s = 100 × 20³ ÷ 12 = 66.667 mm⁴ = 6,67 cm⁴
• A × a² = (100 × 20) × 100² = 20.000.000 mm⁴ = 20.000 cm⁴
• I = 6,67 + 20.000 = 20.006,7 cm⁴

Der Abstand a dominiert hier vollständig. Der eigene Anteil I_s ist fast vernachlässigbar. Deshalb steigt die Steifigkeit so stark, wenn Sie Material von der Mitte nach außen legen.

Widerstandsmoment berechnen

Das Widerstandsmoment W nutzen Sie, um die Spannung zu bestimmen. Die größte Biegespannung ist σ = M ÷ W, mit dem Biegemoment M. Ein Balken mit W = 667 cm³ und einem Biegemoment von 5 kNm hat also eine Randspannung von 5.000.000 ÷ 667.000 = 7,5 N/mm². Mit dem Rechner Biegespannung berechnen kommen Sie direkt zur Spannung.

Für die Durchbiegung brauchen Sie dagegen I. Die Rechnung dafür finden Sie beim Holzbalken Spannweite Rechner oder bei der Trägerberechnung. Das polare Flächenträgheitsmoment, das bei Torsion gilt, rechnen Sie mit dem Rechner für Polares Flächenträgheitsmoment.

Einheiten

Größe	Umrechnung
1 cm⁴	10.000 mm⁴
1 cm³	1.000 mm³
1 m⁴	100.000.000 cm⁴

Der Fehler mit den Einheiten ist der häufigste. Ein Balken mit 100 mm Breite und 0,2 m Höhe ergibt nur richtig, wenn Sie beide Werte in mm umwandeln. Bei gemischten Eingaben liefert die Formel einen Wert, der um Faktoren daneben liegt.

Typische Fehler

• Höhe und Breite nicht vertauschen. Die Höhe steht in der dritten Potenz. Bei 100 mm × 200 mm ergibt das Vertauschen ein Viertel des Wertes, also Faktor 4.
• Alle Maße in derselben Einheit eingeben. Der Rechner arbeitet in mm.
• Zusammengesetzte Profile. Für Profile aus mehreren Teilen reicht die Rechteckformel nicht. Dort brauchen Sie den Satz von Steiner oder die Tabellenwerte des Herstellers.
• Hohlquerschnitte falsch rechnen. Das I eines Rohrs ist außen minus innen. Das W dürfen Sie nicht einfach abziehen, es ist I geteilt durch den Randabstand.
• Biegeachse verwechseln. Ein Balken hat zwei Hauptachsen. Ein Brett, das auf der breiten Seite liegt, biegt sich ganz anders als auf der schmalen.

Wann ein Statiker nötig ist

Der Rechner liefert Querschnittswerte, keinen Nachweis. Ob ein Träger im Haus die Lasten trägt, prüft ein Statiker oder Tragwerksplaner mit den Lasten und den Normen. Eigenlast, Verkehrslast und Schnee gehören in die Rechnung, nicht nur der Querschnitt.