Moment quadratique : formule et calcul pour rectangle et cercle

Le moment quadratique mesure la rigidité d’une section face à la flexion. Pour un rectangle, la formule est I = b × h³ ÷ 12. Avec une largeur de 100 mm et une hauteur de 200 mm, le résultat est 6 667 cm⁴.

L’essentiel en bref

• Formule du rectangle : I = b × h³ ÷ 12, avec b et h en mm.
• Formule du cercle plein : I = π × d⁴ ÷ 64.
• 1 cm⁴ vaut 10 000 mm⁴.
• La hauteur compte au cube : doubler h multiplie I par 8.
• Cette valeur sert ensuite au calcul de la contrainte de flexion.

Cette valeur ne dépend que de la forme de la section. Elle ne dépend ni du matériau ni de la charge. Une poutre en bois et une poutre en acier de même section ont la même valeur I. Le matériau change seulement la contrainte que la poutre peut supporter.

Moment quadratique : formule et méthode

La méthode tient en quatre étapes.

1. Mesurez la largeur b et la hauteur h, en mm, dans le sens de la flexion.
2. Calculez h³. Pour h = 200 mm : 200 × 200 × 200 = 8 000 000 mm³.
3. Multipliez par b. Pour b = 100 mm : 100 × 8 000 000 = 800 000 000 mm⁴.
4. Divisez par 12 : 66 666 667 mm⁴, soit 6 667 cm⁴.

La formule moment quadratique se lit donc ainsi : largeur fois hauteur au cube, le tout divisé par douze.

Rectangle de chant ou à plat

Le moment quadratique rectangle change selon la pose. Une même pièce peut être posée de deux façons. Une pièce de 60 mm × 120 mm posée de chant a une hauteur de 120 mm.

• I = 60 × 120³ ÷ 12 = 8 640 000 mm⁴, soit 864 cm⁴

Posée à plat, sa hauteur devient 60 mm.

• I = 120 × 60³ ÷ 12 = 2 160 000 mm⁴, soit 216 cm⁴

De chant, la pièce est quatre fois plus rigide. Pour le calcul moment d’inertie, retenez la règle : la hauteur est au cube. Cette règle vaut pour tout moment d’inertie rectangle.

Valeurs pour une largeur de 100 mm

Le tableau garde la largeur à 100 mm et fait varier la hauteur.

Hauteur h	I en cm⁴	W en cm³
100 mm	833,3	166,7
150 mm	2 812,5	375,0
200 mm	6 666,7	666,7
250 mm	13 020,8	1 041,7

De 150 mm à 250 mm, la hauteur augmente de 67 %, alors que I est multiplié par 4,6 (13 020,8 ÷ 2 812,5).

Exemples chiffrés

Rectangle 100 mm × 200 mm. I = 100 × 200³ ÷ 12 = 6 667 cm⁴. Le module de flexion vaut W = 100 × 200² ÷ 6 = 667 cm³.

Cercle plein de 50 mm. I = π × 50⁴ ÷ 64 = 306 796 mm⁴, soit 30,68 cm⁴.

Section creuse : extérieur 100 × 200 mm, vide de 80 × 180 mm. I = (100 × 200³ − 80 × 180³) ÷ 12 = 27 786 667 mm⁴, soit 2 778,7 cm⁴. Le vide retire de la matière près du centre, qui compte peu. La section garde 28 % de la surface, mais seulement 42 % de la rigidité du plein.

Lien avec la contrainte de flexion

Cette valeur seule ne donne pas une contrainte. Il faut le module de flexion W = I ÷ e, où e est la distance entre l’axe neutre et le bord. Pour un rectangle, W = b × h² ÷ 6.

Avec un moment de 5 kN·m sur la section 100 × 200 mm, la contrainte au bord vaut 5 000 000 ÷ 666 667 = 7,5 N/mm².

Le calcul complet est dans la page sur la contrainte de flexion. Pour une section ronde, lisez aussi le moment quadratique cercle.

Erreurs fréquentes

• Hauteur et largeur inversées. La hauteur est au cube. Pour 100 × 200 mm, inverser les deux donne un résultat quatre fois plus petit.
• Unités mélangées. Entrez toutes les mesures en mm avant de calculer.
• Section composée. Pour plusieurs pièces assemblées, calculez chaque pièce, puis ajoutez le terme de distance au carré. C’est le théorème de Huygens.
• Confusion avec le moment polaire. Le moment polaire sert à la torsion. Il est traité sur la page du moment quadratique cercle.

Quand faire vérifier

Pour une poutre porteuse, un plancher ou un mur, un bureau d’études vérifie la section avec les charges réelles. Les formules donnent la valeur de la section, pas la sécurité de l’ouvrage.

Pour une pièce longue et fine, lisez la page sur le flambement. Pour une poutre en bois, le tableau de portée d’une poutre bois donne des repères. Pour une poutre acier sous un mur porteur, le calcul IPN pour mur porteur montre la démarche.