Knicklast berechnen: Euler-Rechner für Stützen
Knicklast berechnen nach Euler: Eine Holzstütze 120 × 120 mm, 3 m lang, beidseitig gelenkig, knickt rechnerisch bei 208,4 kN. Mit Rechner und Knicklänge.
Knicklast berechnen Sie nach Euler mit Fcr = π² × E × I ÷ sk². E ist der Elastizitätsmodul, I das kleinere Flächenträgheitsmoment und sk die Knicklänge in mm. Das Ergebnis ist die kritische Last, bei der eine schlanke Stütze seitlich ausweicht.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine schlanke Stütze versagt durch seitliches Ausweichen, nicht durch Zerdrücken.
- Die Knicklänge sk ist die Stützenlänge mal β. Beidseitig gelenkig gilt β = 1.
- Eine Holzstütze 120 × 120 mm, 3 m lang, gelenkig, knickt rechnerisch bei 208,4 kN.
- Die Länge geht quadratisch ein: Doppelte Länge bedeutet ein Viertel der Last.
- Die Euler-Last ist keine zulässige Last. Der Nachweis nach Norm liegt darunter.
Knicklast Stütze berechnen mit dem Rechner: Der Rechner oben nimmt Werkstoff, Querschnitt, Länge und Lagerung. Er gibt Knicklast, Knicklänge und Schlankheitsgrad aus.
Knicklast berechnen am Beispiel einer Holzstütze
Die Stütze ist aus Nadelholz C24, 3 m lang und oben und unten gelenkig gelagert.
- E = 11.000 N/mm² (Mittelwert für C24)
- I = 120 × 120³ ÷ 12 = 17.280.000 mm⁴, das sind 1.728 cm⁴
- Knicklänge sk = 1 × 3.000 mm = 3.000 mm
- Fcr = π² × 11.000 × 17.280.000 ÷ 3.000² ≈ 208.400 N = 208,4 kN
- Geteilt durch den Sicherheitsbeiwert 3: 208,4 ÷ 3 ≈ 69,5 kN
Der Schlankheitsgrad beträgt λ = 3.000 ÷ 34,6 ≈ 87. Dabei ist 34,6 mm der Trägheitsradius, also die Wurzel aus I ÷ A. Dieser Wert ist eine grobe Orientierung, kein Nachweis nach Norm.
Knicklänge berechnen je nach Lagerung
Die Knicklänge sk = β × L hängt stark davon ab, wie die Stütze unten und oben gehalten wird.
| Lagerung | Beiwert β | sk bei L = 3 m |
|---|---|---|
| Beidseitig gelenkig | 1 | 3 m |
| Unten eingespannt, oben frei | 2 | 6 m |
| Eine Seite eingespannt, andere gelenkig | 0,7 | 2,1 m |
| Beidseitig eingespannt | 0,5 | 1,5 m |
Die Lagerung hat riesigen Einfluss. Eine Kragstütze mit β = 2 trägt nur ein Viertel der Last einer gelenkig gelagerten Stütze gleicher Länge.
Rechenbeispiele
Stahlrundstab 40 mm, 2 m lang, beidseitig gelenkig
- I = π × 40⁴ ÷ 64 ≈ 125.664 mm⁴, das sind 12,57 cm⁴
- Fcr = π² × 210.000 × 125.664 ÷ 2.000² ≈ 65.113 N, also 65,1 kN
- Trägheitsradius i = √(I ÷ A) = 10 mm, daher λ = 2.000 ÷ 10 = 200
Holzstütze 100 × 100 mm, 2,5 m lang, unten eingespannt, oben frei
- I = 100⁴ ÷ 12 ≈ 8.333.333 mm⁴
- sk = 2 × 2.500 mm = 5.000 mm
- Fcr = π² × 11.000 × 8.333.333 ÷ 5.000² ≈ 36.189 N, also 36,2 kN
Dieselbe Stütze 120 × 120 mm, aber 6 m lang statt 3 m
- Die Länge verdoppelt sich, die Last fällt auf ein Viertel
- Fcr = 208,4 ÷ 4 ≈ 52,1 kN
Euler Knicklast: wann die Formel passt
Die Euler-Formel gilt für schlanke Stützen, bei denen das Ausweichen vor dem Zerdrücken eintritt. Bei kurzen, gedrungenen Stützen liegt die Euler-Last zu hoch. Dort bestimmt die Druckfestigkeit des Werkstoffs das Versagen. Je höher der Schlankheitsgrad λ, desto verlässlicher ist die Formel.
Bei Holz kommt ein zweiter Punkt dazu. Der Rechner nutzt den mittleren E-Modul. Beim Knicken rechnen Normen mit einem kleineren Wert, bei C24 etwa 7.400 N/mm². Allein damit sinkt die Euler-Last der Beispielstütze von 208,4 kN auf rund 140 kN. Abminderungsbeiwerte und Teilsicherheiten senken die tragbare Last weiter.
Die Knicklast formel nach Euler bleibt die Grundlage. Den Nachweis selbst führen Sie nach Eurocode 5 oder Eurocode 3 mit den passenden Beiwerten.
Tipps und häufige Fehler
- Schwache Achse nehmen. Maßgebend ist die kleinere Seite oder der Durchmesser. Bei 80 × 200 mm zählt die Breite von 80 mm.
- Länge in Metern eingeben. Der Rechner rechnet intern in Millimetern um.
- Lagerung ehrlich wählen. Eine Stütze, die nur aufliegt, ist gelenkig, nicht eingespannt.
- Ausmitte und Vorverformung fehlen. Echte Stützen sind nie ganz gerade. Darum arbeiten Normen mit Abminderungsfaktoren.
- Biegung nicht vergessen. Lasten, die nicht mittig angreifen, erzeugen zusätzlich Biegespannung. Den Wert prüfen Sie im Biegespannung-Rechner.
Das Flächenträgheitsmoment I für Ihren Querschnitt finden Sie im Flächenträgheitsmoment-Rechner. Für Holzbalken mit Streckenlast hilft der Tragfähigkeit-Rechner für Holzbalken weiter. Die Last aus Decken, die auf die Stütze drückt, bestimmen Sie mit dem Deckenlast-Rechner.
Für Carports, Terrassendächer und Treppen mit tragenden Stützen lassen Sie die Bemessung von einer Statikerin oder einem Statiker erstellen.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Knicklast einer Stütze?
Nach Euler mit Fcr = π² × E × I ÷ sk². E ist der Elastizitätsmodul, I das kleinere Flächenträgheitsmoment und sk die Knicklänge. Für eine Holzstütze C24 mit 120 × 120 mm und 3 m Länge, beidseitig gelenkig, ergibt das 208,4 kN.
Was ist die Knicklänge?
Die Knicklänge sk ist die Länge der Stütze mal dem Beiwert β, der die Lagerung beschreibt. Beidseitig gelenkig ist β = 1, unten eingespannt und oben frei β = 2, beidseitig eingespannt β = 0,5. Eine Stütze von 3 m hat im zweiten Fall sk = 6 m.
Wie wirkt sich die Länge auf die Knicklast aus?
Die Länge geht quadratisch ein. Eine doppelt so lange Stütze trägt nur noch ein Viertel der Knicklast. Aus 208,4 kN bei 3 m werden bei 6 m nur 52,1 kN.
Warum rechnet man mit dem kleineren Trägheitsmoment?
Eine Stütze weicht in die Richtung aus, in der sie am weichsten ist. Bei einem Rechteck ist das die schmale Seite. Der Rechner nimmt darum automatisch die kleinere Seite.
Ist die berechnete Knicklast die zulässige Last?
Nein. Die Knicklast ist die Grenze, bei der die ideale Stütze versagt. Der Rechner teilt sie zur Orientierung durch einen Sicherheitsbeiwert, standardmäßig 3. Der Nachweis nach Eurocode 5 berücksichtigt Imperfektionen und Lastdauer und fällt oft deutlich niedriger aus.
Alle Ergebnisse sind Schätzungen. Mengen und Preise vor dem Kauf mit dem Händler oder Fachbetrieb abgleichen.