Zugspannung berechnen: Rechner für Stab und Seil

Zugspannung berechnen Sie mit σ = F ÷ A. F ist die Zugkraft in Newton, A die Querschnittsfläche in mm². Das Ergebnis steht in N/mm².

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Rundstab mit 20 mm Durchmesser und 40 kN hat eine Zugspannung von 127,3 N/mm².
• 1 kN sind 1.000 N. Rechnen Sie die Kraft zuerst in Newton um.
• Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers. Doppelter Durchmesser bedeutet ein Viertel der Spannung.
• Als Grenze gilt die Streckgrenze, geteilt durch den Sicherheitsbeiwert. Bei S235 und 1,5 sind das 156,7 N/mm².
• Ein Meter Stahl dehnt sich bei 127,3 N/mm² um rund 0,61 mm.

Zugspannung berechnen online: Der Rechner oben nimmt Zugkraft, Querschnitt, Werkstoff und Sicherheitsbeiwert. Er zeigt Spannung, Fläche, zulässige Spannung, Ausnutzung und Dehnung.

Zugspannung berechnen in vier Schritten

1. Kraft in Newton umrechnen. 40 kN sind 40.000 N.
2. Querschnittsfläche bestimmen. Beim Kreis gilt A = π × d² ÷ 4, beim Rechteck A = b × h.
3. Spannung berechnen. σ = F ÷ A, Ergebnis in N/mm².
4. Mit der zulässigen Spannung vergleichen. Die Ausnutzung ist σ ÷ zulässige Spannung.

Die Kraft aus einer Masse rechnen Sie mit F = m × g, mit g = 9,81 m/s². Ein Stab trägt eine Last von 4.000 kg. Das sind 4.000 × 9,81 = 39.240 N, also 39,2 kN.

Zugfestigkeit berechnen und Streckgrenze unterscheiden

Zugfestigkeit berechnen Sie nicht aus Ihrer Last. Die Zugfestigkeit Rm ist der höchste Wert, den ein Werkstoff im Zugversuch erreicht, bevor er reißt. Bei Baustahl S235 liegt sie bei 360 bis 510 N/mm², bei S355 bei 470 bis 630 N/mm². Das sind Richtwerte nach DIN EN 10025-2.

Die Streckgrenze ist dagegen der Wert, ab dem sich Stahl bleibend verformt. Für die Bemessung zählt die Streckgrenze, nicht die Zugfestigkeit. Zwischen beiden liegt ein Sicherheitsabstand, den Sie nicht verbrauchen sollten.

Zugspannung formel und Querschnittsflächen

Die Zugspannung formel ist immer dieselbe. Nur die Fläche ändert sich mit der Form des Querschnitts.

Querschnitt	Fläche A	Beispiel
Kreis (Rundstab)	π × d² ÷ 4	d = 20 mm: 314,2 mm²
Rechteck (Flachstahl, Bohle)	b × h	40 × 10 mm: 400 mm²
Rohr	π × (d² − di²) ÷ 4	d = 42 mm, di = 36 mm: 367,6 mm²
Gewinde	Spannungsquerschnitt	Wert aus dem Datenblatt

Bei Gewindestäben und Schrauben zählt der Spannungsquerschnitt im Gewinde. Er ist kleiner als der Nennquerschnitt. Den Wert nennt der Hersteller, bei M16 sind es zum Beispiel 157 mm² statt 201,1 mm².

Bei einem Rohr zieht man die Innenfläche ab. Nur das Material trägt die Last, der leere Kern nicht.

Zugspannung Seil berechnen

Ein Seil hat keinen massiven Querschnitt, sondern viele dünne Drähte. Rechnen Sie mit dem metallischen Querschnitt, den der Hersteller im Datenblatt angibt. Ein Seil mit 40 kN Zugkraft und 80 mm² metallischem Querschnitt hat σ = 40.000 ÷ 80 = 500 N/mm².

Für Seile zählt meist die Mindestbruchkraft. Teilen Sie sie durch den vom Hersteller vorgegebenen Sicherheitsfaktor. Bei 50 kN und Faktor 5 bleiben 10 kN als zulässige Kraft. Die Angaben der Hersteller und die Betriebsanleitung gelten immer vor dem Rechenwert.

Rechenbeispiele

Flachstahl 40 × 10 mm aus S235 mit 60 kN

• A = 40 × 10 = 400 mm²
• σ = 60.000 ÷ 400 = 150 N/mm²
• Zulässig: 235 ÷ 1,5 = 156,7 N/mm²
• Ausnutzung = 150 ÷ 156,7 = 96 %. Es geht, aber ohne viel Reserve.

Rundstab 12 mm aus S355 mit 30 kN

• A = π × 12² ÷ 4 = 113,1 mm²
• σ = 30.000 ÷ 113,1 = 265,3 N/mm²
• Zulässig: 355 ÷ 1,5 = 236,7 N/mm²
• Ausnutzung = 265,3 ÷ 236,7 = 112 %. Der Querschnitt ist zu schwach, wählen Sie einen größeren Durchmesser.

Zugspannung Stab berechnen mit Bohrung: Flachstahl 40 × 10 mm, 10 mm Loch, 60 kN

• Tragender Querschnitt: 40 × 10 − 10 × 10 = 300 mm²
• σ = 60.000 ÷ 300 = 200 N/mm²
• Ausnutzung = 200 ÷ 156,7 = 128 %. Das reicht nicht, obwohl der volle Stab 96 % hatte.

Derselbe Rundstab 12 mm, aber 16 mm Durchmesser

• A = π × 16² ÷ 4 = 201,1 mm²
• σ = 30.000 ÷ 201,1 = 149,2 N/mm²
• Ausnutzung = 149,2 ÷ 236,7 = 63 %. Der größere Durchmesser bringt viel Reserve.

Streckgrenzen im Überblick

Die Streckgrenze Re ist der Wert, ab dem Stahl sich bleibend verformt. Sie hängt von der Dicke des Materials ab.

Werkstoff	Re bis 16 mm Dicke	Re von 16 bis 40 mm Dicke
Baustahl S235	235 N/mm²	225 N/mm²
Baustahl S355	355 N/mm²	345 N/mm²
Aluminium	je nach Legierung sehr verschieden	je nach Legierung sehr verschieden

Die Werte für Baustahl folgen der Produktnorm DIN EN 10025-2. Aluminium gibt es in vielen Legierungen mit sehr unterschiedlicher Festigkeit. Der Rechner setzt für Aluminium grob 150 N/mm² an. Prüfen Sie für echte Bauteile das Datenblatt der Legierung.

Zugspannung und Sicherheit

Rechnen Sie nicht bis zur Streckgrenze, sondern mit einem Abstand dazu. Die zulässige Spannung ist die Streckgrenze geteilt durch den Sicherheitsbeiwert. Im Rechner steht 1,5 als Beispielwert. Die zuständige Norm legt je nach Bauteil andere Faktoren fest.

Eine Ausnutzung unter 100 % heißt: Die vorhandene Spannung liegt unter dem zulässigen Wert. Bei 96 % ist der Stab kaum entlastet. Bei 60 % bleibt Reserve für Stöße und Lastspitzen.

Dehnung eines Stabes

Unter Zug dehnt sich ein Stab. Im elastischen Bereich gilt das Hookesche Gesetz: ε = σ ÷ E. E ist der Elastizitätsmodul. Für Stahl sind es 210.000 N/mm², für Aluminium etwa 70.000 N/mm².

Ein Stab aus Stahl mit 2.000 mm Länge und σ = 127,3 N/mm² hat ε = 127,3 ÷ 210.000 = 0,000606. Die Längenänderung ist 2.000 × 0,000606 ≈ 1,2 mm. Bei Aluminium mit gleicher Spannung wäre die Dehnung dreimal so groß.

Tipps und häufige Fehler

• kN in N umrechnen. 1 kN sind 1.000 N. Wer das vergisst, liegt um den Faktor 1.000 daneben.
• Fläche im Schwächungsquerschnitt. Bohrungen und Gewinde verkleinern den tragenden Querschnitt.
• Sicherheit einplanen. Rechnen Sie nicht bis zur Streckgrenze, sondern mit einem Sicherheitsbeiwert.
• Zug ist nur eine Beanspruchung. Treten zusätzlich Biegung oder Schub auf, hilft die Vergleichsspannung nach von Mises.
• Lasten über Köpfen prüfen lassen. Bei Gehängen, Seilen und Anschlagmitteln ist eine Fachkraft Pflicht.
• Tragende Bauteile nachweisen lassen. Der Rechner ist eine Abschätzung. Die Bemessung tragender Zugglieder und Anschlüsse gehört in die Hand einer Statikerin oder eines Statikers.

Zugspannung im Alltag und die Verbindungen

Zugspannung tritt überall auf, wo etwas hängt oder gezogen wird: bei Abspannungen von Masten, bei Zugstangen in Dachstühlen, bei Ankerschrauben und bei Ketten. Der Ablauf ist immer derselbe. Sie ermitteln die Kraft, bestimmen die Fläche und vergleichen die Spannung mit dem zulässigen Wert.

Ein dickerer Stab senkt die Spannung schnell, denn die Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers. Aus 20 mm werden bei 25 mm Durchmesser 490,9 mm². Die Spannung bei 40 kN sinkt von 127,3 auf 81,5 N/mm².

An Verbindungen zeigt sich Zug oft zusammen mit Abscherung. Die Schrauben-Abscherung rechnen Sie getrennt nach. Die reine Schubspannung in einer Fuge berechnen Sie mit dem Scherspannungs-Rechner.

Auf Druck statt Zug wirkt dagegen die Knicklast. Eine lange, schlanke Stange unter Druck knickt schon bei deutlich kleinerer Last als ihre Druckfestigkeit. Dafür gibt es den Knicklast-Rechner.

Wirkt zusätzlich Biegung auf den Stab, rechnen Sie die Biegespannung mit dem Biegespannung-Rechner nach. Erst danach fassen Sie beide Anteile mit der Von-Mises-Spannung zusammen.

Dies ist eine Abschätzung. Tragende Zugglieder, Anschlagmittel und Anker bemessen Statiker und Fachfirmen nach der geltenden Norm.