Von Mises Spannung berechnen: Vergleichsspannung und Rechner

Von Mises Spannung berechnen in einem Schritt

Die von Mises Spannung ist eine Vergleichsspannung. Sie rechnet Normalspannungen und Schubspannungen zu einem einzigen Wert zusammen. Im ebenen Fall gilt: σv = Wurzel aus (σx² − σx × σy + σy² + 3 × τxy²).

Das Wichtigste in Kürze

• Die Vergleichsspannung fasst alle Spannungen an einem Punkt zu einer Zahl zusammen.
• Beispiel: σx = 100, σy = 40, τ = 30 N/mm² ergibt σv = 101,5 N/mm².
• Vergleichen Sie σv mit der Streckgrenze. Bei S235 sind es 235 N/mm².
• Ausnutzung unter 100 % heißt: Der Werkstoff fließt nach der Hypothese nicht.
• Das Vorzeichen zählt. Zug ist positiv, Druck negativ.

Im Englischen heißt die Größe von mises stress. Sie geht auf den Ingenieur Richard von Mises zurück und ist in der Festigkeitslehre der Standard für zähe Werkstoffe.

Rechenweg mit allen Zahlen

Mit σx = 100 N/mm², σy = 40 N/mm² und τxy = 30 N/mm² rechnen Sie:

1. σx² = 10.000
2. σx × σy = 4.000
3. σy² = 1.600
4. 3 × τxy² = 2.700
5. Summe: 10.000 − 4.000 + 1.600 + 2.700 = 10.300
6. σv = Wurzel aus 10.300 = 101,5 N/mm²

Der Rechner oben nimmt σx, σy, τxy und die Streckgrenze. Er gibt die Vergleichsspannung, die Ausnutzung und die Sicherheit gegen Fließen aus.

Ergebnis lesen: Sicherheit und Ausnutzung

Vergleichen Sie σv mit der Streckgrenze des Werkstoffs. Bei S235 mit 235 N/mm² ist die Sicherheit 235 ÷ 101,5 = 2,32. Die Ausnutzung beträgt 101,5 ÷ 235 = 43 %.

Werkstoff	Streckgrenze (dünne Bleche)	Sicherheit bei σv = 101,5 N/mm²	Ausnutzung
S235	235 N/mm²	2,32	43 %
S355	355 N/mm²	3,50	29 %

Die Streckgrenzen gelten für Dicken bis 16 mm. Bei dickeren Blechen liegt der Wert nach Norm niedriger, bei S235 über 40 mm etwa bei 215 N/mm². Prüfen Sie deshalb die Dicke Ihres Bauteils im Datenblatt.

• Unter 100 % Ausnutzung fließt der Werkstoff nach der Hypothese nicht.
• Je näher an 100 %, desto weniger Reserve bleibt.
• Für den Nachweis eines Bauteils gelten Sicherheitsbeiwerte, die über den reinen Vergleich hinausgehen.

Sonderfälle

Belastung	Eingabe	σv
Reiner Zug	σx = 120, σy = 0, τ = 0	120 N/mm²
Reiner Schub	σx = 0, σy = 0, τ = 50	86,6 N/mm²
Zug und Schub	σx = 150, σy = 0, τ = 50	173,2 N/mm²

Bei reinem Schub ist σv = 1,732 × τ. Die Schubspannung wirkt also stärker als ein gleich großer Zug. Der Faktor √3 ≈ 1,732 entsteht aus der Summe 3 × τ² unter der Wurzel.

Der Sonderfall Zug und Schub zeigt den Effekt: 150 N/mm² Zug allein ergäbe σv = 150 N/mm². Mit 50 N/mm² Schub steigt σv auf 173,2 N/mm².

Rechenbeispiele

Zweiachsig: σx = 100, σy = 40, τxy = 30 N/mm²

• σv = 101,5 N/mm²
• Mit Streckgrenze 235 N/mm²: Sicherheit 2,32

Zug und Druck: σx = 80, σy = −60, τxy = 40 N/mm²

• 6.400 + 4.800 + 3.600 + 4.800 = 19.600
• σv = Wurzel aus 19.600 = 140 N/mm²

Zug mit Schub: σx = 150, σy = 0, τxy = 50 N/mm²

• 22.500 + 0 + 0 + 7.500 = 30.000
• σv = Wurzel aus 30.000 = 173,2 N/mm²

Kontrolle mit Hauptspannungen: σ1 = 100, σ2 = 40, τ = 0 N/mm²

• Mit der Formel für Hauptspannungen: Wurzel aus ½ × [(100 − 40)² + (40 − 0)² + (0 − 100)²]
• ½ × (3.600 + 1.600 + 10.000) = 7.600
• σv = Wurzel aus 7.600 = 87,2 N/mm²
• Das gleiche Ergebnis erhalten Sie mit der ebenen Formel: 10.000 − 4.000 + 1.600 = 7.600.

Woher kommen die Spannungen

Normalspannungen entstehen durch Zug, Druck oder Biegung. Schubspannungen entstehen durch Querkraft oder Torsion. Sie berechnen sie mit einfachen Formeln:

• Zug oder Druck: σ = F ÷ A. Eine Kraft von 12 kN auf 100 mm² ergibt 120.000 N ÷ 100 mm² = 120 N/mm².
• Biegung: σ = M ÷ W. Ein Moment von 1.200 Nm auf ein Widerstandsmoment von 10.000 mm³ ergibt 1.200.000 Nmm ÷ 10.000 mm³ = 120 N/mm².
• Torsion: τ = Mt ÷ Wp. Ein Drehmoment von 500 Nm auf eine Welle mit 50 mm ergibt 500.000 Nmm ÷ 24.544 mm³ ≈ 20,4 N/mm². Den Wert Wp finden Sie beim Polares Flächenträgheitsmoment.

Alle Spannungen müssen sich auf denselben Punkt im Bauteil beziehen, zum Beispiel auf die Randfaser mit der größten Last.

Beispiel: Welle mit Biegung und Torsion

Eine Welle aus S235 hat 50 mm Durchmesser. Sie wird mit 300 Nm gebogen und mit 500 Nm verdreht. Die Schritte:

1. Biegespannung: W = π × d³ ÷ 32 = π × 125.000 ÷ 32 = 12.272 mm³
2. σx = 300.000 Nmm ÷ 12.272 mm³ ≈ 24,4 N/mm²
3. Torsionsschubspannung: τ = 500.000 Nmm ÷ 24.544 mm³ ≈ 20,4 N/mm²
4. Summe unter der Wurzel: 24,4² + 3 × 20,4² = 595,4 + 1.248,5 = 1.843,9
5. σv = Wurzel aus 1.843,9 ≈ 42,9 N/mm²
6. Sicherheit: 235 ÷ 42,9 ≈ 5,5, die Ausnutzung liegt bei rund 18 %

Die Biegespannung für eigene Maße rechnen Sie mit dem Biegespannung Rechner nach.

So gehen Sie beim Nachweis vor

Ein Nachweis mit der Vergleichsspannung folgt immer den gleichen Schritten. Wer sie einhält, vermeidet die häufigsten Rechenfehler.

1. Belastung festlegen. Welche Kräfte und Momente wirken, und wo im Bauteil ist der Querschnitt am stärksten belastet?
2. Spannungen am Punkt bestimmen. Normalspannungen aus Zug, Druck oder Biegung, Schubspannungen aus Querkraft oder Torsion.
3. Vorzeichen setzen. Zug positiv, Druck negativ. Ein falsches Vorzeichen verändert σv stark.
4. Vergleichsspannung rechnen. Mit der Formel für den ebenen Zustand oder mit dem Rechner oben.
5. Streckgrenze suchen. Im Datenblatt des Werkstoffs, passend zur Erzeugnisdicke.
6. Ausnutzung prüfen. Wie viel Prozent der Streckgrenze liegen an? Mit Sicherheitsbeiwert bewerten Sie den Rest.

Ein Beispiel für den Ablauf: Eine Platte aus S355 mit σx = 180 N/mm², σy = 60 N/mm² und τ = 40 N/mm² hat σv = Wurzel aus (32.400 − 10.800 + 3.600 + 4.800) = Wurzel aus 30.000 = 173,2 N/mm². Die Ausnutzung von 355 N/mm² liegt bei 173,2 ÷ 355 ≈ 49 %, die Sicherheit bei 2,05.

Wird eine Last um die Hälfte erhöht, steigt σv auf das Anderthalbfache. Die Sicherheit sinkt dann von 2,05 auf etwa 1,37. Das zeigt, wie empfindlich der Nachweis auf die Last reagiert.

Wo die Hypothese nicht reicht

Ein Rohr unter Innendruck hat Umfangs- und Längsspannungen. Die Kesselformel liefert diese Spannungen. Erst danach fasst die Vergleichsspannung sie zu einer Zahl zusammen.

Bei Druckstäben entscheidet oft nicht die Vergleichsspannung, sondern das Knicken. Dann prüfen Sie zuerst die Knicklast und erst danach die Spannung.

Die Hypothese gilt für zähe Werkstoffe, die fließen, bevor sie brechen. Bei Grauguss oder Keramik bricht das Material ohne vorheriges Fließen. Dort nutzt man andere Kriterien.

Auch die Dauerfestigkeit bleibt außen vor. Bei wechselnder Last zählt die Ermüdung, und die liegt oft weit unter der Streckgrenze.

Tipps und typische Fehler

• Vorzeichen beachten. Zug ist positiv, Druck negativ. Das Vorzeichen von σx und σy ändert das Ergebnis.
• Alle Spannungen am selben Punkt. Spannungen aus unterschiedlichen Stellen dürfen Sie nicht zusammenrechnen.
• Einheiten nicht mischen. Der Rechner arbeitet in N/mm², das entspricht MPa.
• Nur für zähe Werkstoffe. Bei Guss und Keramik taugt die Hypothese nicht ohne Weiteres.
• Scherspannung nicht vergessen. Für Schub im Anschluss hilft der Scherspannung Rechner. Für Zug im Stab die Zugspannung.
• Nachweis vom Fachmann. Für tragende Bauteile führt ein Statiker oder Konstrukteur den Nachweis mit den Sicherheitsbeiwerten der Norm.