Contrainte de traction : calcul de la contrainte dans une tige
Contrainte de traction : σ = F ÷ A. Une tige ronde de 20 mm sous 40 kN subit 127,3 N/mm². Avec le taux d’utilisation, la sécurité et l’allongement.
La contrainte de traction se calcule avec σ = F ÷ A. F est la force de traction en newtons et A la surface de la section en mm². Le résultat sort en N/mm².
Cette formule contrainte de traction vaut pour toute pièce tirée dans le sens de son axe. Le calcul contrainte traction reste le même pour une tige, un câble ou un boulon. Seule la surface change. Le calcul contrainte de traction se fait donc toujours en deux temps : la force, puis la surface.
L’essentiel en bref
- Une tige ronde de 20 mm de diamètre, tirée par 40 kN, subit 127,3 N/mm².
- 1 kN vaut 1 000 N. Convertissez la force avant de diviser.
- La surface croît avec le carré du diamètre. Doubler le diamètre divise la contrainte par quatre.
- La limite de calcul est la limite d’élasticité Re divisée par le coefficient de sécurité. Pour S235 et 1,5, elle vaut 156,7 N/mm².
- L’acier S235 de 2 m de long s’allonge d’environ 1,2 mm sous 127,3 N/mm².
Le calculateur ci-dessus demande la force, la forme de la section, les dimensions, le matériau et le coefficient de sécurité. Il affiche la contrainte, l’aire, la contrainte admissible, le taux d’utilisation et l’allongement.
Contrainte de traction : la méthode en quatre étapes
- Convertir la force en newtons. 40 kN font 40 000 N.
- Calculer la surface. Pour un cercle, A = π × d² ÷ 4. Pour un rectangle, A = b × h.
- Diviser. σ = F ÷ A. Le résultat est en N/mm².
- Comparer à la limite admissible. Le taux d’utilisation vaut σ ÷ contrainte admissible.
Le calcul de la contrainte est toujours le même. Seule la surface change selon la forme de la pièce.
Exemple chiffré : tige ronde de 20 mm
Une tige en acier de 20 mm de diamètre porte une traction de 40 kN.
- Surface : A = π × 20² ÷ 4 = 314,2 mm²
- Contrainte : σ = 40 000 ÷ 314,2 = 127,3 N/mm²
- Limite admissible en S235 : 235 ÷ 1,5 = 156,7 N/mm²
- Taux d’utilisation : 127,3 ÷ 156,7 = 81 %
Le taux est inférieur à 100 %, la tige tient. Il reste environ 19 % de marge pour les chocs et les pointes de charge.
Les formes de section
| Section | Aire A | Exemple |
|---|---|---|
| Cercle (tige, boulon) | π × d² ÷ 4 | d = 20 mm : 314,2 mm² |
| Rectangle (plat, lame) | b × h | 40 × 10 mm : 400 mm² |
| Tube | π × (d² − di²) ÷ 4 | d = 42 mm, di = 36 mm : 367,6 mm² |
| Filetage | section résistante | valeur du fabricant |
Pour une tige filetée, la section résistante du filetage est plus petite que la section nominale. Sur un M16, elle vaut 157 mm² au lieu de 201,1 mm². Prenez toujours la valeur de la fiche technique.
Pour un tube, retirez le vide intérieur. Seul le métal porte la charge.
Contrainte de traction sur un câble
Un câble n’a pas une section pleine. Il est formé de nombreux fils. Utilisez la section métallique indiquée par le fabricant.
Exemple : un câble de 40 kN avec 80 mm² de section métallique.
- σ = 40 000 ÷ 80 = 500 N/mm²
Pour un câble, on raisonne souvent sur la charge de rupture minimale, donnée par le fabricant. On la divise par le coefficient de sécurité du fabricant. Avec 50 kN et un coefficient de 5, la charge admissible reste 10 kN.
Limite d’élasticité et résistance
La limite d’élasticité Re est la valeur à partir de laquelle l’acier se déforme de façon permanente. Elle sert de référence pour le calcul.
| Matériau | Re jusqu’à 16 mm | Re de 16 à 40 mm |
|---|---|---|
| Acier S235 | 235 N/mm² | 225 N/mm² |
| Acier S355 | 355 N/mm² | 345 N/mm² |
| Aluminium | selon l’alliage | selon l’alliage |
Ces valeurs suivent la norme NF EN 10025-2. Le calculateur prend 150 N/mm² pour l’aluminium, à titre indicatif. Pour une vraie pièce, lisez la fiche de l’alliage.
La résistance à la traction Rm est plus haute que Re. Pour un S235, elle se situe entre 360 et 510 N/mm². Ne dimensionnez pas sur Rm : la pièce se déforme bien avant de casser.
Allongement sous traction
Sous traction, une pièce s’allonge. Dans la zone élastique, la loi de Hooke donne ε = σ ÷ E. E est le module d’Young. Il vaut environ 210 000 N/mm² pour l’acier.
Exemple avec σ = 127,3 N/mm² :
- ε = 127,3 ÷ 210 000 = 0,000606, soit 0,606 ‰
- Sur une longueur de 2 000 mm : 2 000 × 0,000606 = 1,2 mm
Pour l’aluminium, avec la même contrainte, l’allongement est environ trois fois plus grand.
Exemples avec d’autres sections
Plat en acier S235 de 40 × 10 mm, 60 kN
- Aire : 40 × 10 = 400 mm²
- Contrainte : 60 000 ÷ 400 = 150 N/mm²
- Taux : 150 ÷ 156,7 = 96 %. La pièce tient, mais sans grande marge.
Même plat avec un trou de 10 mm
- Section utile : 40 × 10 − 10 × 10 = 300 mm²
- Contrainte : 60 000 ÷ 300 = 200 N/mm²
- Taux : 200 ÷ 156,7 = 128 %. Le trou fait céder la pièce, alors que le plat plein tenait.
Tige ronde de 12 mm en S355, 30 kN
- Aire : π × 12² ÷ 4 = 113,1 mm²
- Contrainte : 30 000 ÷ 113,1 = 265,3 N/mm²
- Limite admissible : 355 ÷ 1,5 = 236,7 N/mm²
- Taux : 112 %. Il faut une tige plus grosse.
Tige ronde de 16 mm, même charge de 30 kN
- Aire : π × 16² ÷ 4 = 201,1 mm²
- Contrainte : 30 000 ÷ 201,1 = 149,2 N/mm²
- Taux : 149,2 ÷ 236,7 = 63 %. Le diamètre plus fort donne de la marge.
Coefficient de sécurité et taux d’utilisation
Ne dimensionnez pas jusqu’à la limite d’élasticité. Gardez un écart. La contrainte admissible est Re divisé par le coefficient de sécurité. Le calculateur prend 1,5 comme exemple. La norme du projet fixe la valeur réelle.
Un taux inférieur à 100 % signifie que la contrainte reste sous la valeur admissible. À 96 %, la pièce n’a presque pas de réserve. À 60 %, il reste une marge pour les chocs et les surcharges.
Traction et autres efforts
Une pièce réelle subit souvent plusieurs efforts à la fois.
- Traction et flexion. Calculez la contrainte de flexion à part, puis combinez les deux.
- Efforts combinés. Pour une comparaison globale, utilisez la contrainte de von Mises.
- Compression. Une pièce longue et fine sous compression peut flamber. Le calcul de flambement traite ce cas.
- Boulons. Une liaison subit souvent du cisaillement. Vérifiez-le avec le calcul cisaillement boulon.
Tips et erreurs fréquentes
- kN et N. 1 kN vaut 1 000 N. Une erreur ici fausse le résultat d’un facteur mille.
- Surface affaiblie. Un trou, une rainure ou un filetage réduit la surface portante.
- Pas de marge. Une contrainte proche de la limite admissible ne laisse aucune réserve.
- Unités. La force en N, la surface en mm², la contrainte sort en N/mm².
- Levage. Pour les élingues, les câbles et les charges suspendues, c’est un professionnel qui fixe la charge et le coefficient.
- Ouvrage porteur. Le calcul donne un ordre de grandeur. Les tiges et ancrages d’un ouvrage porteur se dimensionnent selon la norme et la note de calcul d’un bureau d’études.
La contrainte de traction donne la première réponse : la tige tient-elle sous la force prévue ? Une fois ce point vérifié, passez aux autres efforts et aux assemblages.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la contrainte de traction ?
C’est la force de traction divisée par la surface de la section. Elle s’exprime en N/mm² ou en MPa. Elle apparaît dans une tige, un câble ou un boulon que l’on tire.
Comment calculer la contrainte de traction ?
Divisez la force en newtons par l’aire de la section en mm². Pour 40 kN sur une tige de 20 mm de diamètre, l’aire vaut 314,2 mm² et la contrainte vaut 40 000 ÷ 314,2 = 127,3 N/mm².
Quelle limite prendre pour l’acier ?
Pour un acier S235, la limite d’élasticité Re vaut 235 N/mm². Pour un S355, elle vaut 355 N/mm². On ne dimensionne pas jusqu’à cette valeur, mais avec un coefficient de sécurité.
Comment calculer l’allongement d’un câble ou d’une tige ?
Calculez ε = σ ÷ E, avec E = 210 000 N/mm² pour l’acier. Pour σ = 127,3 N/mm², ε vaut 0,000606. Sur 2 m, l’allongement est d’environ 1,2 mm.
Tous les résultats sont des estimations. Vérifiez les quantités et les prix avec votre négoce ou un artisan avant d’acheter.