Contrainte de flexion : formule et calcul avec exemple chiffré

La contrainte de flexion se calcule avec σ = M ÷ W. M est le moment fléchissant en N·mm, W le module de flexion de la section en mm³. Le résultat sort en N/mm². Cette formule contrainte flexion sert à toutes les poutres rectangulaires.

L’essentiel en bref

• La contrainte de flexion augmente avec le moment et baisse avec le module de flexion.
• Pour un rectangle, W = b × h² ÷ 6 : la hauteur entre au carré.
• Une poutre de 100 × 200 mm sous 6 kN·m subit 9 N/mm².
• La contrainte est maximale sur les bords extérieurs, en haut et en bas.
• Si la contrainte dépasse la valeur admissible, la section est trop faible.

Contrainte de flexion : la méthode en quatre étapes

1. Trouver le moment. Une poutre sur deux appuis, chargée uniformément, a son moment maximal au milieu de la portée.
2. Mesurer la section. Calculez W = b × h² ÷ 6, en mm.
3. Mettre les unités d’accord. 6 kN·m valent 6 000 000 N·mm.
4. Diviser et comparer. σ = M ÷ W, puis comparez le résultat à la contrainte admissible.

Le module de flexion d’une poutre

Le module de flexion W dit comment une section résiste à la flexion. Pour un rectangle de 100 mm de large et 200 mm de haut, W = 100 × 200² ÷ 6 = 666 667 mm³, soit 666,7 cm³.

Une seconde formule passe par le moment quadratique I : σ = M × e ÷ I, où e est la distance entre l’axe neutre et le bord. Pour un rectangle, e = h ÷ 2 = 100 mm et I = b × h³ ÷ 12 = 66 666 667 mm⁴. On obtient 6 000 000 × 100 ÷ 66 666 667 = 9 N/mm². Le résultat est le même. Pour le moment quadratique, consultez la page sur le moment quadratique.

Hauteur de la poutre et contrainte

La hauteur entre au carré dans la formule. Pour la contrainte flexion poutre, c’est le paramètre le plus fort. Doubler la hauteur divise la contrainte par quatre. Pour une largeur de 100 mm et un moment de 6 kN·m :

Section	Module W	Contrainte
100 × 100 mm	166,7 cm³	36,0 N/mm²
100 × 150 mm	375 cm³	16,0 N/mm²
100 × 200 mm	666,7 cm³	9,0 N/mm²
100 × 240 mm	960 cm³	6,25 N/mm²
200 × 100 mm, posée à plat	333,3 cm³	18,0 N/mm²

La même section posée de chant, 100 × 200 mm, porte deux fois mieux que posée à plat, 200 × 100 mm.

Exemples chiffrés

Solive de plancher : M = 6 kN·m, section 100 × 200 mm

• W = 100 × 200² ÷ 6 = 666 667 mm³
• σ = 6 000 000 ÷ 666 667 = 9,0 N/mm²
• Avec une admissible de 14 N/mm² : taux d’utilisation 9,0 ÷ 14 = 64 %

Poutre plus forte : M = 12 kN·m, section 120 × 240 mm

• W = 120 × 240² ÷ 6 = 1 152 000 mm³
• σ = 12 000 000 ÷ 1 152 000 = 10,4 N/mm²
• Avec une admissible de 14 N/mm² : taux d’utilisation 10,4 ÷ 14 = 74 %

Trouver le moment fléchissant

Pour une poutre sur deux appuis avec une charge uniforme q, le moment maximal vaut M = q × L² ÷ 8. Avec q = 4 kN/m et L = 3 m, on obtient M = 4 × 3² ÷ 8 = 4,5 kN·m.

Pour une charge unique F au milieu, M = F × L ÷ 4. Avec 10 kN sur 4 m de portée, M = 10 kN·m.

Ces deux formules donnent le moment à partir des charges. La page sur la charge sur une poutre bois explique comment obtenir la charge à utiliser.

Erreurs fréquentes

• Unités mélangées. 1 kN·m vaut 1 000 000 N·mm. Convertissez le moment avant la division.
• Hauteur et largeur inversées. La hauteur est celle qui travaille dans le sens de la charge. Elle est au carré.
• Seule la flexion vérifiée. L’effort tranchant et la flèche doivent aussi être contrôlés. Sur une grande portée, la flèche décide souvent.
• Plusieurs contraintes en même temps. Si la flexion et le cisaillement agissent ensemble, la valeur seule ne suffit plus. La contrainte de von Mises combine les deux.
• Admissible estimée au jugé. Prenez-la dans la note de calcul ou la fiche technique du matériau.

Quand faire vérifier

Pour une poutre porteuse, un plancher ou une charpente, une ingénieure ou un ingénieur structure vérifie la section avec les charges réelles : poids propre, charges d’exploitation et neige. Le calcul ici donne une estimation, pas une note de calcul.

Pour une contrainte en flexion sur une pièce également comprimée, lisez la page sur le flambement. Pour un cisaillement, la page sur la contrainte de cisaillement donne la méthode.