Contrainte de von Mises : formule et calcul avec exemple

La contrainte de von Mises est une contrainte équivalente. Elle réunit les contraintes normales et les contraintes de cisaillement en une seule valeur. Dans l’état plan, on calcule σv = racine carrée de (σx² − σx × σy + σy² + 3 × τxy²).

L’essentiel en bref

• La contrainte de von Mises réduit tous les efforts d’un point à un seul nombre.
• Exemple : σx = 100, σy = 40 et τ = 30 MPa donnent σv = 101,5 MPa.
• On compare σv à la limite élastique. Pour un S235, elle vaut 235 MPa.
• Un taux inférieur à 100 % signifie que le matériau ne plastifie pas selon ce critère.
• Le signe compte : la traction est positive, la compression est négative.

Le nom anglais est von Mises stress. Le critère porte le nom de l’ingénieur Richard von Mises. Il sert au dimensionnement des aciers et des alliages ductiles.

Dans les textes, on lit aussi contrainte von mises ou contrainte équivalente de von Mises. Ce sont des noms différents pour la même grandeur. La contrainte de von mises formule se lit toujours de la même façon, avec les trois termes sous la racine.

Calcul de la contrainte de von Mises pas à pas

Prenons un point avec σx = 100 MPa, σy = 40 MPa et τxy = 30 MPa. Le calcul se fait en six lignes.

1. σx² = 100² = 10 000
2. σx × σy = 100 × 40 = 4 000
3. σy² = 40² = 1 600
4. 3 × τxy² = 3 × 30² = 2 700
5. Somme : 10 000 − 4 000 + 1 600 + 2 700 = 10 300
6. σv = racine carrée de 10 300 = 101,5 MPa

Le calculateur ci-dessus fait ces étapes. Il donne aussi le taux d’utilisation et le coefficient de sécurité.

Lire le résultat : sécurité et taux d’utilisation

Comparez σv à la limite élastique Re du matériau. Pour un S235 à 235 MPa, le coefficient de sécurité vaut 235 ÷ 101,5 = 2,32. Le taux d’utilisation vaut 101,5 ÷ 235 = 43 %.

Acier	Limite élastique (tôle fine)	Coefficient pour σv = 101,5 MPa	Taux d’utilisation
S235	235 MPa	2,32	43 %
S355	355 MPa	3,50	29 %

Les valeurs valent pour les épaisseurs faibles, jusqu’à 16 mm environ. Les tôles plus épaisses ont une limite plus basse. Vérifiez donc l’épaisseur de votre pièce sur le certificat du fournisseur.

• Un taux inférieur à 100 % laisse une réserve de matériau.
• Plus le taux monte vers 100 %, moins la réserve reste.
• Le coefficient de sécurité réglementaire est plus élevé que la simple comparaison.

Cas particuliers

Le tableau suivant montre trois cas simples. Chacun se vérifie à la main.

Chargement	Entrée	σv
Traction pure	σx = 120, σy = 0, τ = 0	120 MPa
Cisaillement pur	σx = 0, σy = 0, τ = 50	86,6 MPa
Traction et cisaillement	σx = 150, σy = 0, τ = 50	173,2 MPa

Pour un cisaillement pur, σv = 1,732 × τ. Le facteur racine de 3, soit 1,732, vient du terme 3 × τ² sous la racine. Un cisaillement de 50 MPa agit donc comme une traction de 86,6 MPa.

Exemples de calcul

Deux contraintes normales et un cisaillement : σx = 100, σy = 40, τxy = 30 MPa

• σv = 101,5 MPa
• Avec une limite de 235 MPa : coefficient 2,32

Traction et compression : σx = 80, σy = −60, τxy = 40 MPa

• 6 400 + 4 800 + 3 600 + 4 800 = 19 600
• σv = racine carrée de 19 600 = 140 MPa

Traction avec cisaillement : σx = 150, σy = 0, τxy = 50 MPa

• 22 500 + 0 + 0 + 7 500 = 30 000
• σv = racine carrée de 30 000 = 173,2 MPa

Plaque en S355 : σx = 180, σy = 60, τxy = 40 MPa

• 32 400 − 10 800 + 3 600 + 4 800 = 30 000
• σv = 173,2 MPa, taux de 49 %, coefficient de 2,05

Si la charge augmente de moitié, σv passe à 1,5 fois sa valeur. Le coefficient de la plaque tombe alors de 2,05 à environ 1,37. Le calcul réagit donc fortement à la charge.

D’où viennent les contraintes

Les contraintes normales viennent de la traction, de la compression ou de la flexion. Les contraintes de cisaillement viennent de l’effort tranchant ou de la torsion. Quelques formules de base suffisent :

• Traction ou compression : σ = F ÷ A. Une force de 12 kN sur 100 mm² donne 12 000 N ÷ 100 mm² = 120 MPa.
• Flexion : σ = M ÷ W. Un moment de 1,2 kN·m sur un module de 10 000 mm³ donne 1 200 000 N·mm ÷ 10 000 mm³ = 120 MPa.
• Torsion : τ = Mt ÷ Wp. Pour une section pleine, Wp dépend du diamètre.

Toutes les contraintes doivent se rapporter au même point de la pièce. Prenez souvent la fibre la plus chargée, celle qui est la plus loin de l’axe neutre.

Méthode pour un contrôle de pièce

Un contrôle suit toujours les mêmes étapes. Suivez-les dans l’ordre pour éviter les erreurs de signe.

1. Définir la charge. Quelles forces et quels moments agissent ? Où la section est-elle la plus sollicitée ?
2. Calculer les contraintes au point. Normales pour la traction et la flexion, de cisaillement pour l’effort tranchant et la torsion.
3. Fixer les signes. La traction est positive, la compression est négative.
4. Calculer σv. Avec la formule ou le calculateur ci-dessus.
5. Choisir la limite élastique. Sur le certificat, selon l’épaisseur.
6. Vérifier le taux. Quelle part de la limite est utilisée ? Le bureau d’études applique ensuite ses coefficients.

Une plaque ou une pièce peut avoir plusieurs points critiques. Calculez σv au point le plus chargé, pas au point le plus facile.

Quand le critère ne suffit pas

Un tube sous pression a des contraintes circonférentielles et longitudinales. La contrainte circonférentielle donne les premières valeurs, puis le critère de von Mises les réunit en une seule.

Pour une barre comprimée, le risque est souvent le flambement, et non la limite élastique. Il faut donc vérifier le flambement avant de calculer σv.

Le critère vaut pour les matériaux qui se déforment avant de rompre. La fonte ou le béton cassent sans fluer, et ce critère ne les décrit pas.

La fatigue reste hors du calcul. Sous charge répétée, la rupture arrive souvent bien en dessous de la limite élastique.

Erreurs fréquentes

• Signe oublié. Une compression mal signée change σv fortement.
• Points différents. Ne mélangez pas des contraintes prises à des endroits différents.
• Unités mélangées. Le calcul se fait en MPa, soit N/mm². Ne mélangez pas avec des kN/cm².
• Mauvais matériau. Le critère vaut pour les aciers et alliages ductiles.
• Épaisseur ignorée. La limite élastique dépend de l’épaisseur de la pièce.

Pour un cisaillement dans une liaison, le calcul cisaillement d’une vis donne la résistance de chaque boulon. Pour un cisaillement simple dans une pièce, la contrainte de cisaillement suffit. Pour une traction dans un tirant, la contrainte de traction donne la valeur directe.

Un calcul de structure engage la responsabilité de son auteur. Pour une pièce porteuse, faites valider le calcul par un bureau d’études ou un ingénieur qualifié, avec les coefficients de la norme en vigueur.