Contrainte circonférentielle : calcul de la pression dans un tube

La contrainte circonférentielle est la tension qui tire la paroi d’un tube sous pression. Pour un tube de 500 mm de diamètre, 5 mm d’épaisseur et 10 bar, elle vaut 50 N/mm². Le calculateur ci-dessus prend la pression, le diamètre, l’épaisseur et la limite d’élasticité, et donne les contraintes et la sécurité.

Imaginez un ballon de baudruche. Gonflez-le : la peau se tend dans tous les sens. Un tube sous pression se tend de la même façon, mais surtout autour de son tour.

L’essentiel en bref

• Formule : σt = p × d ÷ (2 × s).
• Pour 10 bar, 500 mm et 5 mm : σt = 50 N/mm².
• La contrainte dans le sens de la longueur vaut la moitié : 25 N/mm².
• Avec une limite d’élasticité de 235 N/mm², la sécurité vaut 4,7.
• Un bar doit être converti en N/mm² avant le calcul : 1 bar = 0,1 N/mm².

Contrainte circonférentielle en trois étapes

Le calcul demande quatre valeurs : la pression, le diamètre intérieur, l’épaisseur de paroi et la limite d’élasticité du matériau.

1. Convertir la pression : 10 bar = 1 N/mm².
2. Calculer la contrainte circonférentielle : σt = 1 × 500 ÷ (2 × 5) = 50 N/mm².
3. Comparer à la limite d’élasticité : 50 ÷ 235 = 21 % de la limite, et une sécurité de 235 ÷ 50 = 4,7.

Le résultat est une contrainte en N/mm², la même unité que la limite d’élasticité. On peut donc les comparer directement.

Ce que fait la pression dans la paroi

La pression appuie sur chaque point de la paroi, dans toutes les directions. Pour une contrainte circonférentielle tube, la valeur baisse quand la paroi s’épaissit. La contrainte circonférentielle pression, elle, augmente en proportion directe de la pression. Dans le sens du tour, elle cherche à écarter les deux bords. La paroi résiste par sa tension.

Dans le sens de la longueur, la pression pousse sur les fonds. Cette force se répartit sur toute la section annulaire. Elle est donc deux fois plus petite.

Les deux formules côte à côte

Le tube porte deux contraintes en même temps.

• Contrainte circonférentielle (sens du tour) : σt = p × d ÷ (2 × s)
• Contrainte longitudinale (sens de la longueur) : σl = p × d ÷ (4 × s)

Le rapport entre les deux vaut toujours 2. La contrainte dans le tour est donc la contrainte qui décide, dans la plupart des cas.

Calcul épaisseur tube sous pression

On peut retourner la formule pour trouver l’épaisseur minimale. Il faut alors choisir une contrainte admissible, plus faible que la limite d’élasticité.

s = p × d ÷ (2 × σadm)

Exemple : tube de 500 mm, 1 N/mm² de pression, σadm = 156,7 N/mm²

• s = 1 × 500 ÷ (2 × 156,7) = 1,6 mm
• Ajoutez une marge de corrosion et une marge de fabrication avant de choisir le tube du commerce.

Cette épaisseur n’est qu’un minimum théorique. Les tubes réels sont plus épais, et leur fabrication a ses propres tolérances.

Exemples de contrainte circonférentielle

Tube de 300 mm, 6 bar, paroi de 4 mm

• Pression : 0,6 N/mm²
• σt = 0,6 × 300 ÷ (2 × 4) = 22,5 N/mm²
• Part de la limite à 235 N/mm² : 9,6 %

Tube de 500 mm, 10 bar, paroi de 5 mm

• σt = 50 N/mm²
• σl = 25 N/mm²
• Sécurité : 235 ÷ 50 = 4,7

Même tube, pression passée à 20 bar

• Pression : 2 N/mm²
• σt = 2 × 500 ÷ (2 × 5) = 100 N/mm²
• Sécurité : 235 ÷ 100 = 2,35

Doubler la pression double la contrainte. La sécurité tombe de moitié. C’est la raison pour laquelle une petite hausse de pression peut changer la conclusion.

Dans quel cas la formule ne suffit pas

La formule vaut pour une paroi mince. La règle courante : la paroi ne dépasse pas environ un vingtième du diamètre. Pour un tube de 500 mm, cela fait 25 mm.

Au-delà, la pression varie dans l’épaisseur. Il faut alors une formule de paroi épaisse. Pour les appareils sous pression, les règles de conception sont fixées par la réglementation et par les normes applicables. Un organisme qualifié doit les appliquer.

Les tubes de chauffage, de chantier ou d’arrosage à basse pression se calculent généralement avec la formule mince. Pour une installation soumise à une pression élevée, faites appel à un professionnel.

Erreurs fréquentes avec la contrainte circonférentielle

• Pression en bar. Convertissez en N/mm² avant de calculer, sinon le résultat est dix fois trop grand.
• Rayon au lieu du diamètre. La formule utilise le diamètre intérieur. Le rayon donne un résultat deux fois trop petit.
• Épaisseur mal mesurée. Une paroi usée ou corrodée est plus fine. Mesurez à plusieurs endroits.
• Oublier la marge. Ajoutez une marge de corrosion et une tolérance de fabrication.
• Comparer au mauvais chiffre. Comparez à la limite d’élasticité du matériau réel, pas à une valeur générale.

Pour aller plus loin

Une contrainte seule ne décide pas tout. Dans un calcul complet, on combine la contrainte de tour avec les autres contraintes, comme celle de la contrainte de traction. Le critère de von Mises rassemble ces contraintes en une seule valeur.

Si la pression vient d’une pompe, les pertes dans le tube changent aussi la pression réelle. Le calcul de perte de charge indique ce qui reste au bout de la conduite.

La contrainte circonférentielle se lit en une phrase. Plus la pression monte ou plus la paroi s’amincit, plus la tension dans le tour augmente.