Contrainte de cisaillement : formule, calcul et exemple chiffré
Contrainte de cisaillement : τ = F ÷ A. Un boulon de 16 mm sous 20 kN subit 99,5 N/mm². Formule, exemples et calculateur pas à pas.
La contrainte de cisaillement se calcule avec τ = F ÷ A. F est l’effort tranchant en newtons, A la surface qui se cisaille en mm². Un boulon de 16 mm de diamètre sous 20 kN a une surface de 201,1 mm². La contrainte vaut donc 20 000 ÷ 201,1 = 99,5 N/mm².
L’essentiel en bref
- Formule : τ = F ÷ A, résultat en N/mm².
- Section ronde : A = π × d² ÷ 4. Boulon de 16 mm : 201,1 mm².
- Deux plans de cisaillement divisent la contrainte par deux.
- Limite élastique au cisaillement : environ Re ÷ √3, soit 135,7 N/mm² pour l’acier S235.
- Le calculateur ne contient pas de coefficient de sécurité.
Contrainte de cisaillement : le principe
Pensez à une paire de ciseaux qui coupe une bande de carton. Ici, le boulon joue le rôle de la lame. Deux tôles glissent l’une contre l’autre, et le boulon coupe en travers.
La surface coupée s’appelle la surface de cisaillement. Plus elle est grande, plus l’effort se répartit. La contrainte baisse donc quand le diamètre augmente.
Le calcul contrainte de cisaillement se fait en une seule étape : l’effort divisé par la surface coupée. Le reste consiste à trouver la bonne surface.
Compter les plans de cisaillement
Avant de calculer, comptez à combien d’endroits l’élément serait coupé.
- Un plan : le boulon relie deux pièces et ne peut couper qu’en un seul endroit.
- Deux plans : le boulon traverse une lame centrale entre deux autres pièces. Il peut couper en deux endroits.
- Section rectangulaire : la surface est la largeur fois la hauteur, comme pour une lame ou une clavette.
Le nombre de plans multiplie la surface. Avec deux plans, la surface double et la contrainte est divisée par deux.
Formules pour la surface cisaillée
| Section | Surface A | Exemple |
|---|---|---|
| Disque plein, diamètre d | π × d² ÷ 4 | d = 16 mm : 201,1 mm² |
| Rectangle, largeur b, hauteur h | b × h | 60 × 10 mm : 600 mm² |
| Tube, extérieur D, intérieur d | π × (D² − d²) ÷ 4 | D = 20 mm, d = 16 mm : 113,1 mm² |
La formule contrainte de cisaillement, τ = F ÷ A, reste la même pour toutes les sections. Pour une liaison à deux plans, multipliez la surface par 2. Pour un tube, prenez la surface de l’anneau, pas celle du disque entier.
Limite élastique au cisaillement
Pour un acier ductile, la limite élastique au cisaillement vaut environ Re ÷ √3, soit près de 58 % de la limite élastique en traction. C’est le repère pour comparer la contrainte calculée.
| Acier | Re | Re ÷ √3 |
|---|---|---|
| S235 | 235 N/mm² | 135,7 N/mm² |
| S355 | 355 N/mm² | 205,0 N/mm² |
| S460 | 460 N/mm² | 265,6 N/mm² |
La contrainte admissible vient de cette limite divisée par un coefficient de sécurité. Par exemple, pour le S235 avec un coefficient de 1,5, on obtient 135,7 ÷ 1,5 ≈ 90,5 N/mm². Le bureau d’études choisit le coefficient selon le cas.
Exemples chiffrés
Boulon à un plan : d = 16 mm, F = 20 kN, S235
- A = π × 16² ÷ 4 = 201,1 mm²
- τ = 20 000 ÷ 201,1 = 99,5 N/mm²
- Taux d’utilisation : 99,5 ÷ 135,7 = 73 %
Boulon à deux plans : d = 16 mm, F = 30 kN, S235
- A = 2 × 201,1 = 402,1 mm²
- τ = 30 000 ÷ 402,1 = 74,6 N/mm²
- Taux d’utilisation : 74,6 ÷ 135,7 = 55 %
Goupille à deux plans : d = 12 mm, F = 25 kN, S355
- A = 2 × π × 12² ÷ 4 = 226,2 mm²
- τ = 25 000 ÷ 226,2 = 110,5 N/mm²
- Taux d’utilisation : 110,5 ÷ 205,0 = 54 %
Lame rectangulaire : 60 × 10 mm, F = 40 kN, S235
- A = 60 × 10 = 600 mm²
- τ = 40 000 ÷ 600 = 66,7 N/mm²
- Taux d’utilisation : 66,7 ÷ 135,7 = 49 %
Contrainte de cisaillement dans une poutre
Dans une poutre, la contrainte de cisaillement ne se répartit pas uniformément. Elle est nulle sur les bords et maximale au centre. Pour une section rectangulaire, le maximum vaut 1,5 fois la moyenne F ÷ A.
Pour un boulon ou une goupille, la moyenne suffit comme première estimation. Dans ces pièces, on s’intéresse à la surface qui se coupe, pas à la forme de la répartition dans la section.
Erreurs fréquentes
- Mauvaise surface. Comptez précisément les endroits où la pièce serait coupée.
- Deux plans oubliés. Vous calculez alors avec la moitié de la surface et obtenez le double de la contrainte.
- Filetage dans la zone cisaillée. Le filetage réduit la surface. Les vis ont leurs propres valeurs de référence.
- Unités mélangées. Une force en N et une surface en mm² donnent des N/mm². Convertissez les kN en N en multipliant par 1 000.
- Taux d’utilisation lu comme une sécurité. 73 % ne veut pas dire que le boulon suffit. La limite élastique n’est pas une valeur admissible.
Quand le calcul suffit, quand il faut un bureau d’études
Pour une goupille, une clavette ou une liaison simple en atelier, ce calcul donne une bonne estimation. Pour une liaison porteuse, une vis précontrainte ou une pièce soumise à des efforts répétés, un bureau d’études dimensionne la liaison selon les Eurocodes.
Pour une vis seule, vérifiez d’abord le calcul de cisaillement d’un boulon. Le couple de serrage donne la précontrainte de la liaison. Pour une tige tirée dans son axe, lisez la page sur la contrainte de traction. Une soudure travaille aussi en cisaillement : le calcul de soudure l’examine à part. Enfin, pour une pièce soumise à plusieurs contraintes, la contrainte de von Mises combine les efforts.
Questions fréquentes
Comment calculer la contrainte de cisaillement ?
Divisez l’effort tranchant F par la surface cisaillée A : τ = F ÷ A. Avec F = 20 000 N et A = 201,1 mm², on obtient 99,5 N/mm².
Quelle est la formule de la contrainte tangentielle ?
C’est la même formule : τ = F ÷ A. La contrainte tangentielle est la contrainte parallèle à la surface. Pour un boulon ou un goujon, on parle surtout de contrainte de cisaillement.
Qu’est-ce que la limite élastique au cisaillement ?
Pour un acier ductile, elle vaut environ Re ÷ √3. Pour le S235, Re = 235 N/mm², donc 135,7 N/mm². Ce n’est pas une valeur admissible : il faut la diviser par un coefficient de sécurité.
Une tige qui traverse deux tôles compte-t-elle pour deux plans ?
Oui, si elle se cisaille en deux endroits. À effort égal, deux plans divisent la contrainte par deux. Avec 30 kN sur un boulon de 16 mm, on passe de 149,2 N/mm² à 74,6 N/mm².
Pourquoi la contrainte n’est-elle pas uniforme dans une poutre ?
Dans une poutre rectangulaire, elle est nulle sur les bords et maximale au centre, à 1,5 fois la moyenne F ÷ A. Le calculateur donne la moyenne, valable pour un boulon ou une goupille.
Tous les résultats sont des estimations. Vérifiez les quantités et les prix avec votre négoce ou un artisan avant d’acheter.