Moment quadratique cercle : formule polaire, tube et exemple

Le moment quadratique cercle se calcule avec Ip = π × d⁴ ÷ 32, le diamètre d en millimètres. Une tige de 50 mm donne Ip = 613 592 mm⁴, soit 61,36 cm⁴. Ce moment mesure la rigidité du cercle face à la torsion.

L’essentiel en bref

• Plein : Ip = π × d⁴ ÷ 32 et Wp = π × d³ ÷ 16.
• Pour un cercle, Ip est le double du moment axial I, car les deux axes sont égaux.
• Tige de 50 mm : Ip = 61,36 cm⁴ et Wp = 24,54 cm³.
• Doubler le diamètre multiplie la rigidité en torsion par 16.
• La contrainte de torsion simple existe pour le plein et le tube.

Moment quadratique cercle : une tige qu’on tord

Prenez une tige et tenez-la par les deux bouts. Tournez un bout pendant que l’autre reste fixe. La tige résiste à cette torsion. Cette résistance est le moment polaire.

Le matériau situé loin de l’axe résiste le plus. Le centre de la tige travaille peu. C’est ce qui rend le diamètre si important dans la formule.

Calcul pas à pas pour une tige de 50 mm

• Ip = π × 50⁴ ÷ 32 = π × 6 250 000 ÷ 32 = 613 592 mm⁴
• En cm⁴ : 613 592 ÷ 10 000 = 61,36 cm⁴
• Wp = π × 50³ ÷ 16 = π × 125 000 ÷ 16 = 24 544 mm³, soit 24,54 cm³
• Avec un moment de torsion de 500 N·m, τ = 500 000 ÷ 24 544 ≈ 20,4 N/mm²

Le calculateur ci-dessus prend la forme de la section et les dimensions en mm. Il donne Ip, Wp, et la contrainte de torsion pour le plein et le tube.

Moment axial et moment polaire

Pour le moment quadratique d’un cercle, toutes les directions passant par le centre sont identiques. Le moment axial I est donc le même pour les deux axes : I = π × d⁴ ÷ 64. Le moment d’inertie polaire additionne les deux axes : Ip = 2 × I.

Le moment axial I sert à calculer la flexion d’une poutre. Le moment polaire Ip sert à calculer la torsion d’un arbre. Pour le moment axial, consultez la page sur le moment quadratique.

Tableau pour des diamètres courants

Diamètre d	I axial	Ip polaire	Wp torsion
20 mm	0,79 cm⁴	1,57 cm⁴	1,57 cm³
30 mm	3,98 cm⁴	7,95 cm⁴	5,30 cm³
40 mm	12,57 cm⁴	25,13 cm⁴	12,57 cm³
50 mm	30,68 cm⁴	61,36 cm⁴	24,54 cm³
60 mm	63,62 cm⁴	127,23 cm⁴	42,41 cm³

Ces valeurs ne dépendent que du diamètre. Le matériau n’entre pas dans le calcul de la section.

Tube creux : extérieur et intérieur

Un tube a un trou au centre. Pour le moment quadratique tube, on calcule le plein avec le diamètre extérieur d, puis on retire la partie intérieure di : Ip = π × (d⁴ − di⁴) ÷ 32.

Exemple : un tube de 60 mm à l’extérieur et 50 mm à l’intérieur.

• Ip = π × (60⁴ − 50⁴) ÷ 32 = π × 6 710 000 ÷ 32 ≈ 658 753 mm⁴, soit 65,88 cm⁴
• Wp = 658 753 ÷ 30 ≈ 21 958 mm³, soit 21,96 cm³

Ce tube a une section de 864 mm² contre 1 963 mm² pour un plein de 50 mm. Il garde pourtant plus de rigidité en torsion, car sa matière est placée loin de l’axe.

Exemples chiffrés

Tige pleine de 30 mm

• Ip = π × 30⁴ ÷ 32 = 79 522 mm⁴, soit 7,95 cm⁴
• Wp = π × 30³ ÷ 16 = 5 301 mm³, soit 5,30 cm³

Rectangle de 40 mm × 60 mm

• Ip = 40 × 60 × (40² + 60²) ÷ 12 = 2 400 × 5 200 ÷ 12 = 1 040 000 mm⁴, soit 104 cm⁴

Angle de torsion d’une tige de 50 mm, longue de 1 m, avec Mt = 500 N·m

L’angle est φ = Mt × L ÷ (G × Ip). Pour l’acier, on prend G ≈ 80 000 N/mm² comme repère.

• Numérateur : 500 000 N·mm × 1 000 mm = 5 × 10⁸
• Dénominateur : 80 000 × 613 592 = 4,9 × 10¹⁰
• φ ≈ 0,0102 rad, soit environ 0,58°

Pourquoi le diamètre compte tant

Le diamètre entre à la puissance quatre. Une tige deux fois plus épaisse est 2⁴ = 16 fois plus rigide en torsion.

La tige de 30 mm a 7,95 cm⁴, celle de 50 mm a 61,36 cm⁴. Le diamètre n’a augmenté que de 1,67 fois, mais la rigidité a été multipliée par 7,7. Chaque millimètre compte donc dans le choix du diamètre.

Torsion pas à pas

1. Choisir la section : plein, tube ou rectangle.
2. Mesurer en mm. Pour un tube, mesurez les deux diamètres.
3. Calculer Ip avec la formule de la section.
4. Calculer Wp pour le plein et le tube : Wp = Ip ÷ (d ÷ 2).
5. Calculer la contrainte : τ = Mt ÷ Wp, avec Mt en N·mm et Wp en mm³.

Si la torsion s’ajoute à une flexion, calculez la contrainte de flexion à part, puis combinez les deux résultats.

Erreurs fréquentes

• Mesures en millimètres. Le résultat sort en cm⁴ : 1 cm⁴ vaut 10 000 mm⁴.
• Diamètre intérieur plus grand que l’extérieur. Dans un tube, di doit être plus petit que d.
• Polaire et axial confondus. Pour la flexion d’une poutre, prenez le moment axial I.
• Torsion d’une section non ronde. Seuls le plein et le tube ont une formule simple. Pour un rectangle, les formules de torsion sont différentes.
• Concentration de contrainte oubliée. Une rainure, un trou transversal ou un épaulement augmente la contrainte au point concerné. Le calcul ne le voit pas.

Quand faire vérifier

Une soudure entre une tige et un flasque se vérifie avec le calcul de soudure. Pour une tige longue et comprimée, lisez le flambement. Pour une poutre en bois, le tableau de portée d’une poutre bois et le calcul de charge sur une poutre bois donnent des repères. Une pièce tournante, un arbre ou un axe soumis à des efforts répétés doit être dimensionné par un bureau d’études, car les efforts alternés réduisent la contrainte admissible.